Question

17．如圖所示圓柱形屋頂中心的天花板上的O點(diǎn)，掛一根長(zhǎng)L=3m的細(xì)繩，掛一個(gè)m=0.5kg的小球，繩承受的最大拉力為10N，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大到繩被拉斷后，小球以v=9m/s的速度落在墻角，求
（1）拉斷細(xì)繩時(shí)，小球的線速度是多少？
（2）這個(gè)圓柱形房屋的高度H和半徑R．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)繩子的拉力達(dá)到T=10N時(shí)剛好被拉斷，設(shè)此時(shí)繩與豎直方向夾角為θ，則cosθ=$\frac{mg}{T}$，所以θ=60°，根據(jù)向心力公式求出繩斷時(shí)的速度．
（2）小球在繩子斷開后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出下落的高度，進(jìn)而求出水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系可求H和R．

解答 解：（1）如圖（1）所示，取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為T，繩與豎直方向夾角為θ，則在豎直方向有：
　　Tcosθ=mg，所以cosθ=$\frac{mg}{T}$=$\frac{1}{2}$，所以θ=60°      
球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r=Lsin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m
由牛頓第二定律知
　　Tsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$
可得 v_A=3$\sqrt{5}$m/s
（2）O、O′間的距離為：OO′=Lcos60°=1.5m，
則O′、O″間的距離為O′O″=H-OO′=H-1.5m．
設(shè)在A點(diǎn)繩斷，細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落在墻邊C處．
設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如答圖（2）所示．
由運(yùn)動(dòng)的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=0.6s                  
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎直方向上的位移為 s_y=$\frac{1}{2}$gt²=H-1.5m，
所以屋的高度為H=$\frac{1}{2}$gt²+1.5m=$\frac{1}{2}$×10×0.62m+1.5m=3.3m，
小球在水平方向上的位移為 s_x=BC=v_At=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$m
　　由圖可知，圓柱形屋的半徑為R=$\sqrt{{r}^{2}+（BC）^{2}}$=4.8m
答：
（1）拉斷細(xì)繩時(shí)，小球的線速度是3$\sqrt{5}$m/s．
（2）這個(gè)圓柱形房屋的高度H和半徑R分別為3.3m和4.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題．