Question

如圖是蕩秋千的示意圖．最初人直立站在踏板上，兩繩與豎直方向的夾角均為θ，人的重心到懸點(diǎn)O的距離為l₁；從A點(diǎn)向最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，人由直立狀態(tài)自然下蹲，在B點(diǎn)人的重心到懸點(diǎn)O的距離為l₂；在最低點(diǎn)處，人突然由下蹲狀態(tài)變成直立狀態(tài)（人的重心到懸點(diǎn)O的距離恢復(fù)為l₁），且保持該狀態(tài)到最高點(diǎn)C．設(shè)人的質(zhì)量為m，不計(jì)踏板和繩的質(zhì)量、不計(jì)一切摩擦和空氣阻力，求
（1）人第一次到達(dá)最低點(diǎn)B還處于下蹲狀態(tài)時(shí)，兩根繩的總拉力F為多大？
（2）人第一次到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)，繩與豎直方向的夾角α為多大？（可用反三角函數(shù)表示；解答本問(wèn)時(shí)可不考慮超重和失重）

Answer 1

分析：（1）人由A點(diǎn)向B點(diǎn)（還處于下蹲狀態(tài)時(shí)）的過(guò)程中，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，由牛頓第二定律列式求拉力F．
（2）人從B點(diǎn)保持直立狀態(tài)到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒求解α．

解答：解：（1）人由A點(diǎn)向B點(diǎn)（還處于下蹲狀態(tài)時(shí)）的過(guò)程中，
根據(jù)機(jī)械能守恒得，mg（l₂-l₁cosθ）=

1

2

mv2
在最低點(diǎn)B，F(xiàn)-mg=m

v2

l2

解得F=（3-

2l1cosθ

l2

）mg
（2）人從B點(diǎn)保持直立狀態(tài)到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒得，

1

2

mv2=mgl₁（1-cosα）
解得α=arccos（cosθ-

l2-l1

l1

）
答：
（1）人第一次到達(dá)最低點(diǎn)B還處于下蹲狀態(tài)時(shí)，兩根繩的總拉力F為（3-

2l1cosθ

l2

）mg．
（2）人第一次到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)，繩與豎直方向的夾角α為arccos（cosθ-

l2-l1

l1

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際問(wèn)題，要建立模型，將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，再運(yùn)用機(jī)械能守恒和牛頓定律結(jié)合進(jìn)行處理．