Question

6．如圖所示，沿直徑方向開(kāi)有一凹槽的圓盤水平放置，可繞過(guò)中心O點(diǎn)的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，凹槽內(nèi)有一根輕質(zhì)彈簧，彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端連接質(zhì)量為m的小滑塊．彈簧的勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l₀，圓盤半徑為3l₀，槽底與小滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{3k{l}_{0}}{5mg}$，凹槽側(cè)面光滑．圓盤開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)l₀．已知重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，則在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中：
（1）若要使彈簧不發(fā)生形變，求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度必須滿足的條件；
（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為2l₀時(shí)，若小滑塊受到的摩擦力恰好為零，求此時(shí)滑塊的動(dòng)能E_k；
（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為l（l＜3l₀）時(shí)，滑塊相對(duì)圓盤靜止且轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到最大，求此時(shí)滑塊的動(dòng)能E_km．

Answer 1

分析 （1）彈簧不發(fā)生形變時(shí)彈力為零，由靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律求角速度的范圍．
（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為2l₀時(shí)，小滑塊受到的摩擦力恰好為零，由彈簧的彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑動(dòng)的速度，從而求得其動(dòng)能．
（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為l（l＜3l₀）時(shí)，由牛頓第二定律求出滑動(dòng)的速度，再求得滑塊的動(dòng)能．

解答 解：（1）彈簧不發(fā)生形變，由靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律得：
μmg≥mω₁²l₀
據(jù)題有：μ=$\frac{3k{l}_{0}}{5mg}$
解得：ω₁≤$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$
（2）小滑塊受到的摩擦力為零時(shí)，由彈簧的彈力提供向心力，則由牛頓第二定律得：
k（2l₀-l₀）=m$\frac{{v}^{2}}{2{l}_{0}}$
此時(shí)滑塊的動(dòng)能為：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=kl₀²．
（3）當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為l時(shí)且l＜3l₀，最大動(dòng)能為E_km，則有：
k（l-l₀）+μmg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{l}$
且有：E_km=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得：E_km=$\frac{kl}{2}（{l-\frac{2}{5}{l_0}}）$
答：（1）若要使彈簧不發(fā)生形變，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度必須滿足的條件是ω≤$\sqrt{\frac{3k}{5m}}$；
（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為2l₀時(shí)，若小滑塊受到的摩擦力恰好為零，此時(shí)滑塊的動(dòng)能E_k是kl₀²；
（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為l（l＜3l₀）時(shí)，滑塊相對(duì)圓盤靜止且轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到最大，此時(shí)滑塊的動(dòng)能E_km是$\frac{kl}{2}（{l-\frac{2}{5}{l_0}}）$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律和胡克定律進(jìn)行求解．