Question

18．如圖所示，平行光滑金屬導軌AA₁和CC₁與水平地面之間的夾角均為θ，兩導軌間距為L，A，C兩點間連接有阻值為R的電阻，一根質量為m，電阻為r的直導體棒EF跨在導軌上，兩端與導軌接觸良好．在邊界ab，cd之間存在垂直導軌平面的勻強磁場，磁場的磁感應強度為B，ab和cd與導軌垂直，將導體棒EF從圖示位置由靜止釋放，EF進入磁場就開始勻速運動，穿過磁場過程中電阻R產生的熱量為Q，整個運動過程中，導體棒EF與導軌始終垂直且接觸良好，除R和r之外，其余電阻不計，取重力加速度為g．
（1）求導體棒EF剛進入磁場時的速率；
（2）求磁場區(qū)域的寬度s；
（3）將磁感應強度變?yōu)?\frac{B}{2}$，仍讓導體棒EF從圖示位置由靜止釋放，若導體棒離開磁場前后瞬間的加速度大小之比為1：2，求導體棒通過磁場的時間．

Answer 1

分析 （1）EF進入磁場做勻速運動，所以受力平衡，根據法拉第電磁感應定律E=BLv和閉合電路歐姆定律，聯立即可求解；
（2）對導體棒穿過磁場的過程運用動能定理，再結合電熱分配與電阻的關系，聯立即可；
（3）對導體棒離開磁場前后瞬間分別運用牛頓第二定律，二者聯立可求出導體棒離開磁場時的速度v₂，進而求出導體棒穿過磁場過程中速度的變化量△v，再根據電量公式q=n$\frac{△φ}{{R}_{總}}$求出導體棒穿過磁場過程中流過的電荷量q，金屬棒在磁場中做加速度逐漸減小的變加速直線運動，微分過程為n個時間極短的小過程，再利用動量定理結合積分求和的思想，即可求解金屬棒在磁場中運動的時間t．

解答 解：（1）設導體棒EF剛進入磁場時的速率為v₁，
根據EF進入磁場后受力平衡可得：mgsinθ=BIL ①
閉合電路歐姆定律得：E=I（R+r） ②
導體棒切割磁場產生的感應電動勢：E=BLv₁ ③
聯立①②③式得：v₁=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$ ④
（2）對導體棒穿過磁場的過程運用動能定理得：mgs•sinθ-W_安=0 ⑤
根據電磁感應能量轉化關系得：Q=$\frac{R}{R+r}$W_安 ⑥
聯立⑤⑥可得：s=$\frac{（R+r）Q}{mgRsinθ}$
（3）設導體棒EF穿出磁場時的速率為v₂，導體棒通過磁場的時間為t
根據牛頓第二定律可得：
離開磁場前：mgsinθ-$\frac{（\frac{B}{2}）^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$=ma ⑦
離開磁場后：mgsinθ=m•2a ⑧
解得：v₂=$\frac{2mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑨
聯立④⑨式．可得棒穿過磁場的速度變化量：△v=v₂-v₁=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑩
電流定義式：q=$\overline{I}$△t⑪
閉合電路歐姆定律：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$⑫
法拉第電磁感應定律：$\overline{E}$=n$\frac{△φ}{△t}$⑬
導體棒穿過磁場過程磁通量的變化量：△φ=$\frac{B}{2}$Ls⑭
聯立⑪⑫⑬⑭式，可得導體棒進入磁場到勻速過程流過的電荷量：q=$\frac{BLs}{R+r}$⑮
將導體棒穿過磁場的過程分成n個時間極短的小過程，每個小過程的時間均為△t，則n△t=t；
因為△t極短，所以每個小過程的電流為定值，設其大小分別為I₁，I₂，I₃，…I_n，對應過程的加速度大小分別為a₁，a₂，a₃，…a_n；
針對每一個小過程對導體棒運用定量定理可得：
第1個小過程：mgsinθ•△t-$\frac{B}{2}$LI₁△t=ma₁△t
第2個小過程：mgsinθ•△t-$\frac{B}{2}$LI₂△t=ma₂△t
第3個小過程：mgsinθ•△t-$\frac{B}{2}$LI₃△t=ma₃△t
…
第n個小過程：mgsinθ•△t-$\frac{B}{2}$LI_n△t=ma_n△t
將上述n個式子做和可得：mgsinθ•t-$\frac{B}{2}$L（I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t）=m（a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t）⑯
其中：I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t=q⑰
a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t=△v⑱
將⑰⑱代入⑯式得：mgsinθ•t-$\frac{B}{2}$Lq=m△v⑲
聯立⑩⑮⑲式得：t=$\frac{m（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}Q}{4{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}$
答：（1）求導體棒EF剛進入磁場時的速率為$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）求磁場區(qū)域的寬度為$\frac{（R+r）Q}{mgRsinθ}$；
（3）將磁感應強度變?yōu)?\frac{B}{2}$，仍讓導體棒EF從圖示位置由靜止釋放，若導體棒離開磁場前后瞬間的加速度大小之比為1：2，導體棒通過磁場的時間為$\frac{m（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}Q}{4{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}$．

點評 本題考查導體棒切割磁場的力電綜合問題，注意根據其運動形式選擇相應的規(guī)律解決，前兩問難度不大；第三問先微分再積分求和，大家注意理解積分的物理意義，即：求解圖象與橫軸圍成的面積；⑰⑱兩式可以用I-t圖象和a-t圖象與t軸圍成的下面積去理解，I-t圖象與t軸圍成的下面積表示流過的電量，a-t圖象與t軸圍成的下面積表示速度的變化量．