Question

3．在如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一絕緣?形桿由兩段直桿和一半徑徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長(zhǎng)，半圓環(huán)MAP在磁場(chǎng)邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場(chǎng)邊界線上，NMAP段光滑，PQ段粗糙，現(xiàn)在有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小環(huán)套在MN桿上，它所受電場(chǎng)力為重力的$\frac{1}{2}$倍．現(xiàn)在M點(diǎn)右側(cè)的D點(diǎn)由靜止釋放小環(huán)，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)．
（1）求D、M間的距離x₀；
（2）上述過(guò)程中，小環(huán)第一次通過(guò)與O等高的A點(diǎn)時(shí)，求彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大�。�
（3）若小環(huán)與PQ間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)5R處由靜止開始釋放，求小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）對(duì)D到P為研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出DM間的距離．
（2）對(duì)D到A為研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大�。�
（3）需討論摩擦力的大小與電場(chǎng)力的大小關(guān)系，若摩擦力大于電場(chǎng)力，則運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)右側(cè)停止；若摩擦力小于電場(chǎng)力，則環(huán)最終在DP間往復(fù)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小環(huán)從D到P，由動(dòng)能定理得：
qEx₀-2mgR=0，由題意可知：Eq=$\frac{1}{2}$ mg，
解得：x₀=4R；
（2）設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)的速度為v_A，對(duì)小環(huán)恰好能通過(guò)A點(diǎn)，
由牛頓第二定律得：N-qv_AB-qE=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
從D到A，由動(dòng)能定理有：qE（x₀+R）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：N=$\frac{7}{2}$mg+qB$\sqrt{3gR}$；
（3）①若μmg≥qE即μ≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)右側(cè)s₁處?kù)o止，
則有：qE（5R-s₁）-mg•2R-μmgs₁=0，解得：s₁=$\frac{R}{1+2μ}$，
所以，小環(huán)克服摩擦力做的功為W₁=μmgs₁=$\frac{μmgR}{1+2μ}$；
②若μmg＜qE即μ＜$\frac{1}{2}$，則小環(huán)經(jīng)過(guò)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后只能在P、D之間運(yùn)動(dòng)，
設(shè)小環(huán)克服摩擦力所做的功為W₂，則qE•5R-mg•2R-W₂=0，
解得，小環(huán)克服摩擦力做的功為：W₂=$\frac{1}{2}$mgR．
答：（1）D、M間的距離x₀為4R；
（2）小環(huán)第一次通過(guò)與O等高的A點(diǎn)時(shí)，彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大小為：$\frac{7}{2}$mg+qB$\sqrt{3gR}$；
（3）小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功為：$\frac{μmgR}{1+2μ}$、或$\frac{1}{2}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．