Question

10．如圖所示，物體A、B之間可以有一根被壓縮鎖定的輕彈簧，靜止在光滑軌道abcd上，其中bc為半徑為R=0.1m的半圓形軌道，長為L=0.4m的傳送帶順時針轉動速度為v=2m/s，忽略傳送帶的d端與軌道c點之間的縫隙寬度，物體B與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5．已知物體A、B可以看成質(zhì)點，質(zhì)量分別為2m、m，g=10m/s²．解除彈簧的鎖定后，求：
（1）為了使物體B在運動中不會離開傳送帶和軌道，解除彈簧鎖定后，B獲得的速度必須滿足的條件；
（2）如果m=1.0kg，開始時彈簧的彈性勢能為E_p=6.75J，解除彈簧鎖定后，A獲得的速度大小v=1.5m/s，物體B再次落到水平軌道ab上的位置．

Answer 1

分析 （1）物體B在運動中恰好不會離開傳送帶，B運動到e點時速度為零，根據(jù)動能定理求出B的臨界速度，從而得到速度的條件．
（2）解除彈簧鎖定的過程，根據(jù)動量守恒定律可求出B獲得的速度，由動能定理求出B離開傳送帶時的速度，結合平拋運動的規(guī)律求出B平拋運動的水平距離，即可求解．

解答 解：（1）物體B在運動中恰好不會離開傳送帶，B運動到e點時速度為零，從釋放到運動到e點的過程，根據(jù)動能定理得：
-mg•2R-μmgL=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=2$\sqrt{2}$m/s
設B恰好通過軌道最高點c時的速度為v₀．則有：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=1m/s
B從b到c的過程，由機械能守恒定律得
  mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得 v_B′=$\sqrt{5}$m/s
所以為了使物體B在運動中不會離開傳送帶和軌道，解除彈簧鎖定后，B獲得的速度必須滿足的條件是：$\sqrt{5}$m/s≤v_B≤2$\sqrt{2}$m/s
（2）設解除彈簧鎖定后B獲得的速度為v₁．取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₁-2mv=0
代入數(shù)據(jù)得：v₁=3m/s
B從b到e的過程，由動能定理得：
-mg•2R-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得B到e點時的速度為：v₂=1m/s
B離開傳送帶后做平拋運動，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₂t
解得：x=0.2m
即物體B再次落到水平軌道ab上的位置到b的距離為：S=x+L=0.6m
答：（1）為了使物體B在運動中不會離開傳送帶和軌道，解除彈簧鎖定后，B獲得的速度必須滿足的條件是$\sqrt{5}$m/s≤v_B≤2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物體B再次落到水平軌道ab上的位置到b的距離是0.6m．

點評 物體B剛好到達圓形軌道最高點的臨界條件是：重力等于向心力；彈簧釋放的過程遵守動量守恒定律，B恰好運動到e點的臨界速度為0，把握這些條件和規(guī)律是解答本題的關鍵．