Question

【題目】如圖所示，哈雷彗星繞太陽S沿橢圓軌道逆時針方向運動，其周期T為76.1年，1986年它過近日點P0時與太陽S的距離r0=0.590AU，AU是天文單位，它等于地球與太陽的平均距離，經(jīng)過一段時間，彗星到達軌道上的P點，SP與SP0的夾角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太陽質(zhì)量mS=1.99×1030kg，試求P到太陽S的距離rP及彗星過P點時速度的大小及方向（用速度方向與SP0的夾角表示）。

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一

取直角坐標(biāo)系Oxy，原點O位于橢圓的中心，則哈雷彗星的橢圓軌道方程為

（1）

a、b分別為橢圓的半長軸和半短軸，太陽S位于橢圓的一個焦點處，如圖1所示．

以表示地球繞太陽運動的周期，則；以表示地球到太陽的距離（認(rèn)為地球繞太陽作圓周運動），則，根據(jù)開普勒第三定律，有

（2）

設(shè)c為橢圓中心到焦點的距離，由幾何關(guān)系得

（3）

（4）

由圖1可知，P點的坐標(biāo)

（5）

（6）

把（5）、（6）式代入（1）式化簡得

（7）

根據(jù)求根公式可得

（8）

由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

(9)

可以證明，彗星繞太陽作橢圓運動的機械能為

(10)

式中m為彗星的質(zhì)量．以表示彗星在P點時速度的大小，根據(jù)機械能守恒定律有

（11）

得

（12）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

(13)

設(shè)P點速度方向與的夾角為(見圖2)，根據(jù)開普勒第二定律

（14）

其中為面積速度，并有

（15）

由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可得

（16）

解法二

取極坐標(biāo)，極點位于太陽S所在的焦點處，由S引向近日點的射線為極軸，極角為，取逆時針為正向，用r、表示彗星的橢圓軌道方程為

（1）

其中，e為橢圓偏心率，p是過焦點的半正焦弦，若橢圓的半長軸為a，根據(jù)解析幾何可知

（2）

將（2）式代入（1）式可得

（3）

以表示地球繞太陽運動的周期，則；以表示地球到太陽的距離（認(rèn)為地球繞太陽作圓周運動），則，根據(jù)開普勒第三定律，有

（4）

在近日點，由（3）式可得

（5）

將、、的數(shù)據(jù)代入（3）式即得

（6）

可以證明，彗星繞太陽作橢圓運動的機械能

(7)

式中m為彗星的質(zhì)量．以表示彗星在P點時速度的大小，根據(jù)機械能守恒定律有

（8）

可得

（9）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

(10)

設(shè)P點速度方向與極軸的夾角為，彗星在近日點的速度為，再根據(jù)角動量守恒定律，有

（11）

根據(jù)（8）式，同理可得

（12）

由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有關(guān)數(shù)據(jù)

(13)