Question

12．某加速器的簡(jiǎn)圖如圖所示．MM′、NN′為磁場(chǎng)和電場(chǎng)之間的薄隔離層，兩隔離層足夠長(zhǎng)且之間距離為d．隔離層的外側(cè)存在垂直于紙面向外磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；內(nèi)側(cè)存在垂直于隔離層的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在OO′左右兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向相反，其中右側(cè)電場(chǎng)方向向下．一電量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的帶電粒子從O點(diǎn)以初動(dòng)能K_k垂直隔離層進(jìn)入磁場(chǎng)．已知當(dāng)粒子毎次穿過(guò)隔離層時(shí)電量、速度方向不變，但動(dòng)能變?yōu)橹�前�?\frac{2}{3}$，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子從O點(diǎn)出發(fā)后第一次到達(dá)MM′時(shí)離O點(diǎn)的距離x₁；
（2）若能實(shí)現(xiàn)“加速”的目的，勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E應(yīng)滿足的條件；
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=$\frac{5{E}_{K}}{3qd}$，為使粒子獲得最大速度，單側(cè)磁場(chǎng)的厚度h應(yīng)滿足什么條件？（已知：若0＜P＜1，當(dāng) n→∞時(shí)．pⁿ=0）

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中的勻加速運(yùn)動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理求其速度，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，聯(lián)立即可求出粒子從O點(diǎn)出發(fā)后第一次到達(dá)MM′時(shí)離O點(diǎn)的距離x₁；
（2）求出粒子穿過(guò)NN′后動(dòng)能，E_k1要大于初動(dòng)能K_k，才能實(shí)現(xiàn)“加速”的目的，聯(lián)立即可求出勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E應(yīng)滿足的條件；
（3）設(shè)n，寫出通項(xiàng)，寫出其表達(dá)式，找到數(shù)學(xué)規(guī)律，表示出粒子第n次穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能為E_kn的表達(dá)式，利用極限的思維，即可求出粒子獲得最大速度時(shí)，單側(cè)磁場(chǎng)的厚度h應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）由E_k=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$可得：v₀=$\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}$
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{0}}$
聯(lián)立可得：x₁=2r₀=$\frac{2\sqrt{2m{E}_{k}}}{qB}$
（2）若要實(shí)現(xiàn)加速的目的，則要求粒子第一次穿過(guò)NN′后動(dòng)能要大于初動(dòng)能，
第一次穿越MM′后粒子動(dòng)能為$\frac{2}{3}{E}_{k}$，穿越NN′后動(dòng)能為E_k1=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k}+qEd）$
E_k1=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k}+qEd）$＞E_k
故：E＞$\frac{5{E}_{k}}{6qd}$
（3）設(shè)粒子第n次穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能為E_kn，第n+1次穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能為E_k（n+1），則有：
E_k（n+1）=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{kn}+qEd）$
故：
E_k1=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k}+qEd）$
E_k2=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k1}+qEd）$=$（\frac{4}{9}）^{2}$E_k+（$\frac{4}{9}$+1）$\frac{2}{3}$qEd
E_k3=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k2}+qEd）$=${（\frac{4}{9}）}^{3}$E_k+[（$\frac{4}{9}$）²+$\frac{4}{9}$+1]$\frac{2}{3}$qEd
…
E_kn=$\frac{2}{3}（\frac{2}{3}{E}_{k（n-1）}+qEd）$=${（\frac{4}{9}）}^{n}$E_k+[（$\frac{4}{9}$）^n-1+…+（$\frac{4}{9}$）³+（$\frac{4}{9}$）²+$\frac{4}{9}$+1]$\frac{2}{3}$qEd
所以：E_kn=${（\frac{4}{9}）}^{n}$E_k+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{4}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{9}}$qEd
當(dāng)n→∞時(shí)，E_kn=$\frac{6}{5}$qEd=2E_k
即最大速度為v_m=$\sqrt{2}$v₀
所以h＞$\sqrt{2}$r=$\frac{2}{qB}\sqrt{2m{E}_{k}}$
答：（1）粒子從O點(diǎn)出發(fā)后第一次到達(dá)MM′時(shí)離O點(diǎn)的距離為$\frac{2\sqrt{2m{E}_{k}}}{qB}$；
（2）若能實(shí)現(xiàn)“加速”的目的，勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E應(yīng)滿足的條件為E＞$\frac{5{E}_{k}}{6qd}$；
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=$\frac{5{E}_{K}}{3qd}$，為使粒子獲得最大速度，單側(cè)磁場(chǎng)的厚度h應(yīng)滿足的條件為h＞$\frac{2}{qB}\sqrt{2m{E}_{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，題干信息較多，要仔細(xì)辨讀，第一問(wèn)較為常規(guī)，難度不大；第二問(wèn)解題關(guān)鍵是要找出加速的條件，即：粒子第一次穿過(guò)NN′后動(dòng)能要大于初動(dòng)能；第三問(wèn)要注意尋找表達(dá)式中的數(shù)學(xué)規(guī)律，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高．