Question

如圖甲所示，空間Ⅰ區(qū)域存在方向垂直紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左右邊界線MN與PQ相互平行，MN右側(cè)空間Ⅱ區(qū)域存在一周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿紙面垂直MN邊界，電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律如圖乙所示（規(guī)定向左為電場(chǎng)的正方向）．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，在t=0時(shí)刻從電場(chǎng)中A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，粒子重力不計(jì)．

（1）若場(chǎng)強(qiáng)大小E₁=E₂=E，A點(diǎn)到MN的距離為L(zhǎng)，為使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最大，交變電場(chǎng)變化周期的最小值T₀應(yīng)為多少？粒子的最大速度v₀為多大？
（2）設(shè)磁場(chǎng)寬度為d，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，使粒子以速度v₁進(jìn)入磁場(chǎng)后都能從磁場(chǎng)左邊界PQ穿出，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足的條件及該粒子穿過磁場(chǎng)時(shí)間t的范圍．
（3）若電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E₁=2E₀，E₂=E₀，電場(chǎng)變化周期為T，t=0時(shí)刻從電場(chǎng)中A點(diǎn)釋放的粒子經(jīng)過n個(gè)周期正好到達(dá)MN邊界，假定磁場(chǎng)足夠?qū)�，粒子�?jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后又回到電場(chǎng)中，向右運(yùn)動(dòng)的最大距離和A點(diǎn)到MN的距離相等．求粒子到達(dá)MN時(shí)的速度大小v和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)粒子在電場(chǎng)中一直做加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最大，加速的時(shí)間為

1

2

T0，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出A到MN的距離L，根據(jù)動(dòng)能定理求最大速度．
（2）粒子射入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子軌跡半徑大于磁場(chǎng)的寬度d時(shí)，都能從磁場(chǎng)左邊界PQ穿出，由牛頓第二定律求B應(yīng)滿足的條件．根據(jù)幾何關(guān)系，粒子在磁場(chǎng)中通過的弧長(zhǎng)s應(yīng)滿足的條件是d＜s＜

πd

2

，由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間t的范圍．
（3）若電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E₁=2E₀，E₂=E₀，電場(chǎng)變化周期為T，在一個(gè)周期粒子的加速度周期性變化，根據(jù)牛頓第二定律求前、后兩個(gè)半周內(nèi)的加速度，得到在一個(gè)周期內(nèi)速度的增量△v，經(jīng)過n個(gè)周期到達(dá)MN時(shí)速度為v=n△v．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′=

T

2

．粒子在向右運(yùn)動(dòng)的最大距離和A點(diǎn)到MN的距離相等，說明粒子返回電場(chǎng)減速運(yùn)動(dòng)正好是前面加速的逆過程，根據(jù)對(duì)稱性可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′應(yīng)滿足t′=（2k+1）

T

2

（k=0、1、2、3…），聯(lián)立即可求出B．

解答：解：（1）當(dāng)粒子在電場(chǎng)中一直做加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最大，設(shè)加速時(shí)間為t，則L=

qE

2m

t2
        T₀=2t
解得 T₀=2

2mL qE

 
由動(dòng)能定理有  qEL=

1

2

m

v

2 0

解得  v₀=

2qEL m

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則有
qv₁B=

m v 2 1

r

r＞d
解得  B＜

mv1

qd

根據(jù)幾何關(guān)系，粒子在磁場(chǎng)中通過的弧長(zhǎng)s應(yīng)滿足的條件是
d＜s＜

πd

2

粒子穿過磁場(chǎng)時(shí)間  t=

s

v1

解得  

d

v1

＜t＜

πd

2v1

（3）粒子在電場(chǎng)變化的前半周期內(nèi)加速度大小  a₁=

2qE0

m

后半周期內(nèi)加速度大小  a₂=

qE0

m

在一個(gè)周期內(nèi)速度的增量△v=a₁

T

2

-a₂

T

2

經(jīng)過n個(gè)周期到達(dá)MN時(shí)  v=n△v
解得 v=

nqE0T

2m

 
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期  T=

2πm

qB

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  t′=

T

2

粒子在向右運(yùn)動(dòng)的最大距離和A點(diǎn)到MN的距離相等，說明粒子返回電場(chǎng)減速運(yùn)動(dòng)正好是前面加速的逆過程，根據(jù)對(duì)稱性可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′應(yīng)滿足
   t′=（2k+1）

T

2

（k=0、1、2、3…）
解得  B=

2πm

(2k+1)qT

  （k=0、1、2、3…）
答：
（1）交變電場(chǎng)變化周期的最小值T₀應(yīng)為2

2mL qE

，粒子的最大速度v₀為

2qEL m

．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足的條件是B＜

mv1

qd

，該粒子穿過磁場(chǎng)時(shí)間t的范圍為

d

v1

＜t＜

πd

2v1

．
（3）粒子到達(dá)MN時(shí)的速度大小v為

nqE0T

2m

，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為

2πm

(2k+1)qT

（k=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)合場(chǎng)中臨界條件問題，關(guān)鍵要分析臨界條件，對(duì)于周期性變化的電場(chǎng)，運(yùn)用歸納法，分析速度變化量是關(guān)鍵，并抓住對(duì)稱性求時(shí)間．