Question

宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通常可忽略其他星體對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₁；另一種形式是有三顆星位于邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₂，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng)．試求兩種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期之比

T1

T2

．

Answer 1

分析：明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
根據(jù)F合=mr（

2π

T

）2，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：對(duì)于第一種形式：
星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑半徑r₁=

2

2

a
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：

Gm2

2a2

+2

Gm2

a2

cos45°=mr₁

4π2

T 2 1

解得：T₁=2πa

2a (4+ 2 )Gm

①
對(duì)于第二種形式：其軌道半徑為r₂=

3

3

a
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：

Gm2

r 2 2

+2

Gm2

a2

cos30°=mr₂

4π2

T 2 2

解得：T₂=2πa

a 3(1+ 3 )Gm

 ②
由①②解得：

T1

T2

=

6+6 3 4+ 2

答：星體運(yùn)動(dòng)的周期之比為

6+6 3 4+ 2

．

點(diǎn)評(píng)：知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．