Question

1．電磁彈射是我國(guó)最新研究的重大科技項(xiàng)目，原理可用下述模型說明．如圖甲所示，虛線MN右側(cè)存在一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一邊長(zhǎng)L的正方形單匝金屬線框abcd放在光滑水平面上，電阻為R，質(zhì)量為m，ab邊在磁場(chǎng)外側(cè)緊靠MN虛線邊界．t=0時(shí)起磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化規(guī)律是B=B₀+kt（k為大于零的常數(shù)），空氣阻力忽略不計(jì)．

（1）求t=0時(shí)刻，線框中感應(yīng)電流的功率P；
（2）若線框cd邊穿出磁場(chǎng)時(shí)速度為v，求線框穿出磁場(chǎng)過程中，安培力對(duì)線框所做的功W及通過導(dǎo)線截面的電荷量q；
（3）若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，如圖乙所示，在線框上加一質(zhì)量為M的負(fù)載物，證明：載物線框匝數(shù)越多，t=0時(shí)線框加速度越大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合功率表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，與法拉第電磁感應(yīng)定律求得平均電動(dòng)勢(shì)，及閉合電路歐姆定律，電量表達(dá)式，從而即可求解；
（3）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電流值，依據(jù)安培力表達(dá)式，及牛頓第二定律，即可證明．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ${E_0}=\frac{△B}{△t}{L^2}$
功率 $P=\frac{{{E_0}^2}}{R}$
解得$P=\frac{{{k^2}{L^4}}}{R}$
（2）由動(dòng)能定理有W=△E_k
解得$W=\frac{1}{2}m{v^2}$
穿出過程線框中的平均電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=\frac{△ϕ}{△t}$
線框中的電流$\overline{I}=\frac{\bar E}{R}$
通過的電量：
q=i△t=$\frac{△∅}{R}$=|0-B₀S|×$\frac{1}{R}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（3）n匝線框中t=0時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$E=n\frac{△ϕ}{△t}$
線框的總電阻R_總=nR                          
線框中的電流$I=\frac{E}{R_總}(cāng)$
t=0時(shí)刻線框受到的安培力F=nB₀IL
設(shè)線框的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有F=（nm+M）a
解得$a=\frac{{k{B_0}{L^3}}}{{（\frac{M}{n}+m）R}}$可知，n越大，a越大．    
答：（1）線框中感應(yīng)電流的功率$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{R}$；
（2）安培力對(duì)線框所做的功$\frac{1}{2}m{v}^{2}$通過導(dǎo)線截面的電荷量$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（3）根據(jù)$a=\frac{{k{B_0}{L^3}}}{{（\frac{M}{n}+m）R}}$可知，n越大，a越大．

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律的內(nèi)容，掌握動(dòng)能定理與牛頓第二定律的應(yīng)用，理解電量的綜合表達(dá)式的推導(dǎo)，注意安培力大小與匝數(shù)有關(guān)．