Question

【題目】如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點(diǎn)相切。BC為圓弧軌道的直徑。O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，sinα=，一質(zhì)量為m的小球沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道通過C點(diǎn)，落至水平軌道；在整個(gè)過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此時(shí)小球?qū)�軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小�?/span>g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大�。�

（2）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)量的大��；

（3）小球從C點(diǎn)落至水平軌道所用的時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析 本題考查小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、受力分析、動(dòng)量、斜下拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，意在考查考生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題的的能力。

解析（1）設(shè)水平恒力的大小為F0，小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)所受合力的大小為F。由力的合成法則有

①

②

設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由牛頓第二定律得

③

由①②③式和題給數(shù)據(jù)得

④

⑤

（2）設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)的速度大小為，作，交PA于D點(diǎn)，由幾何關(guān)系得

⑥

⑦

由動(dòng)能定理有

⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和題給數(shù)據(jù)得，小球在A點(diǎn)的動(dòng)量大小為

⑨

（3）小球離開C點(diǎn)后在豎直方向上做初速度不為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為g。設(shè)小球在豎直方向的初速度為，從C點(diǎn)落至水平軌道上所用時(shí)間為t。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

⑩

由⑤⑦⑩式和題給數(shù)據(jù)得

點(diǎn)睛 小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是常見經(jīng)典模型，此題將小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、受力分析、動(dòng)量、斜下拋運(yùn)動(dòng)有機(jī)結(jié)合，經(jīng)典創(chuàng)新。