Question

13．宇宙中存在質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，這些系統(tǒng)一般離其他恒星較遠，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．四星系統(tǒng)通常有兩種構(gòu)成形式：一是三顆星繞另一顆中心星運動（三繞一），二是四顆星穩(wěn)定地分布正方形的四個頂點上運動．若每個星體的質(zhì)量均為m，引力常量為G，若相鄰星球的最小距離為a，求兩種構(gòu)成形式下天體運動的周期之比．

Answer 1

分析 確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，
根據(jù)F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運動的周期．

解答 解：三顆星繞另一顆中心星運動時，其中任意一個繞行星球受到另三個星球的萬有引力的合力提供向心力，三個繞行星球的向心力一定指向同一點，且中心星受力平衡，由于星球質(zhì)量相等，具有對稱關(guān)系，因此向心力一定指向中心星，繞行星一定分布在以中心星為重心的等邊三角形的三個頂點上．
對三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為a，所受合力等于向心力，因此有
$2•G\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{3}a）^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{{T}_{1}}^{2}}$…①
解得${{T}_{1}}^{2}=\frac{2（3-\sqrt{3}）{π}^{2}{a}^{3}}{GM}$…②
對正方形模式，四星的軌道半徑均為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，同理有
$2•G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}cos45°+G\frac{{m}^{2}}{{（\sqrt{2}a）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}a$…③
解得${T}_{2}^{2}=\frac{4（4+\sqrt{2}）{π}^{2}{a}^{3}}{7GM}$…④
故$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$
答：兩種構(gòu)成形式下天體運動的周期之比為$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）（3-\sqrt{3}）}{4}}$．

點評 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．
萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析