Question

12．圖中A、B之間為一峽谷，相距d=10.0m，C為固定在懸崖上的一根橫梁，一籮筐D通過兩根輕繩掛在橫梁上，當(dāng)籮筐靜止時(shí)，它正好處在峽谷AB的正中央，且和峽谷兩邊的平地差不多在同一水平面上．已知筐的質(zhì)量M=200kg，每根繩的長度都是l=50.0m，筐的大小和d相比可忽略不計(jì)．現(xiàn)有一人位于峽谷的一邊A處，他想到達(dá)峽谷的對岸B處，在他身邊有很多質(zhì)量差不多都是m=2.00kg的石塊，于是他便不斷把石塊拋入籮筐，使籮筐動(dòng)起來，當(dāng)筐擺到A處時(shí)，他就跨入筐中，當(dāng)筐擺到B處時(shí)，再跨出筐到達(dá)B處．如果此人每次只向筐中扔一個(gè)石塊，當(dāng)石塊擊中筐時(shí)，筐恰好都位于峽谷的正中央，石塊擊中筐后隨即落在筐內(nèi)并和筐一起運(yùn)動(dòng)，石塊擊筐的時(shí)刻，其速度的大小v₀=4.0m/s，方向都是水平的，試求：
（1）此人需向籮筐中扔的石塊數(shù)．
（2）從扔出第一個(gè)石塊起到此人到達(dá)B處所經(jīng)過的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）石塊扔入籮筐的過程，水平方向動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式，得到當(dāng)?shù)趎個(gè)石塊進(jìn)入筐時(shí)筐的速度v_n的表達(dá)式．若籮筐具有速度v_n后，恰好能擺到峽谷的A處，此時(shí)，筐上升的高度為h，由幾何關(guān)系求出h，再由能量關(guān)系求石塊數(shù)n．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求從拋出第一個(gè)石塊到石塊進(jìn)入籮筐經(jīng)歷的時(shí)間t₁．籮筐擺動(dòng)經(jīng)歷一個(gè)周期T，第二個(gè)石塊進(jìn)入筐，經(jīng)歷2個(gè)周期即2T，第三個(gè)石塊進(jìn)入筐，…，從第一個(gè)石塊進(jìn)入筐至第n個(gè)石塊進(jìn)入筐共經(jīng)歷時(shí)間為t₂=（n-1）T，自第n個(gè)石塊進(jìn)入筐到筐擺到A處，人跨入筐所經(jīng)歷的時(shí)間為t₃=$\frac{3}{4}$T，從人跨入筐到筐擺到B處經(jīng)歷時(shí)間為t₄=$\frac{1}{4}$T，再求總時(shí)間t．

解答 解：（1）設(shè)第一個(gè)石塊扔入籮筐后，筐開始運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，取水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
mv₀=（M+m）v₁ …①
解得：v₁=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$…②
當(dāng)?shù)诙�個(gè)石塊剛要進(jìn)籮筐時(shí)，籮筐恰好剛回到峽谷中央，速度的大小為v₁，方向與石塊速度v₀的方向相同，設(shè)石塊進(jìn)入筐后，筐的速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律有
  mv₀+（M+m）v₁=（M+2m）v₂ …③
由②③兩式，得 v₂=$\frac{2m{v}_{0}}{M+2m}$…④
當(dāng)?shù)趎個(gè)石塊進(jìn)入筐時(shí)，筐的速度為 v_n=$\frac{nm{v}_{0}}{M+nm}$…⑤
若籮筐具有速度V_n后，恰好能擺到峽谷的A處，此時(shí)，筐上升的高度為h，則由能量關(guān)系得：
$\frac{1}{2}（M+nm）{v}_{n}^{2}$=（M+nm）gh…⑥
而：h=l-$\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}tvtlp7z^{2}}$…⑦
解⑤、⑥、⑦式得：n=$\frac{M\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}z7vhvb7^{2}}）}}{m[{v}_{0}-\sqrt{2g（l-\sqrt{{l}^{2}-\frac{1}{4}hlhzv5p^{2}}）}]}$…⑧
代入數(shù)據(jù)，得：n=128…⑨即需向籮筐中扔進(jìn)128個(gè)石塊．
（2）從拋出第一個(gè)石塊到石塊進(jìn)入籮筐經(jīng)歷的時(shí)間為：t₁=$\frac{\frac{1}{2}d}{{v}_{0}}$…⑩
籮筐擺動(dòng)經(jīng)歷一個(gè)周期T，第二個(gè)石塊進(jìn)入筐，經(jīng)歷2個(gè)周期即2T，第三個(gè)石塊進(jìn)入筐，…，從第一個(gè)石塊進(jìn)入筐至第n個(gè)石塊進(jìn)入筐共經(jīng)歷時(shí)間為：
  t₂=（n-1）T…（11）
自第n個(gè)石塊進(jìn)入筐到筐擺到A處，人跨入筐所經(jīng)歷的時(shí)間 t₃=$\frac{3}{4}$T…（12）
從人跨入筐到筐擺到B處經(jīng)歷時(shí)間為：t₄=$\frac{1}{4}$T…（13）
由此得自扔出第一個(gè)石塊到此人到達(dá)B處總共需時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frachxl7hpp{2{v}_{0}}$+（n+$\frac{1}{4}$）T…（14）
注意到筐擺動(dòng)的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$…（15）
代入數(shù)據(jù)得：t=1798.7s≈29.9min
答：（1）此人需向籮筐中扔的石塊數(shù)是128．
（2）從扔出第一個(gè)石塊起到此人到達(dá)B處所經(jīng)過的時(shí)間是29.9min．

點(diǎn)評 本題是周期性問題，分析清楚石塊和筐的速度，采用歸納法得到速度的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．要抓住單擺的周期性，不能漏解．