Question

20．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=60°，在MO左上側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO右下側(cè)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)的一條邊界在直線MO上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v=$\frac{E}{B}$，且方向與MO成θ角從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，又向左從MO上的D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）射出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，最后到達(dá)O點(diǎn)，不計(jì)粒子重力．求：
（1）MD的距離L；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，由牛頓第二定律求出距離L；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R．
則有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由幾何關(guān)系得L=2Rsinθ，
且$v=\frac{E}{B}$．
解得L=$\frac{\sqrt{3}mE}{{B}^{2}q}$．
（2）設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2θ=120°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$．
由幾何關(guān)系知粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度方向與電場(chǎng)方向垂直，所以粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則有
水平方向x=vt₂，豎直方向y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{{t}_{2}}^{2}$，
又y=xtanθ
解得${t}_{2}=\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$．
即粒子從M到O的時(shí)間為$t={t}_{1}+{t}_{2}=（\frac{2π}{3}+2\sqrt{3}）\frac{m}{qB}$．
答：（1）MD的距離L為$\frac{\sqrt{3}mE}{{B}^{2}q}$；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間為$（\frac{2π}{3}+2\sqrt{3}）\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．