Question

15．為研究物體的運(yùn)動(dòng)，在光滑的水平桌面上建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy，O、A、B是水平桌面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，OB沿x軸正方向，∠BOA=60°，OB=$\frac{3}{2}$OA，第一次將一質(zhì)量為m的滑塊以一定的初動(dòng)能從O點(diǎn)沿y軸正方向滑出，并同時(shí)施加沿x軸正方向的恒力F₁，滑塊恰好通過A點(diǎn)，第二次，在恒力F₁仍存在的情況下，再在滑塊上施加一個(gè)恒力F₂，讓滑塊從O點(diǎn)以同樣的初動(dòng)能沿某一方向滑出，恰好也能通過A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為初動(dòng)能的3倍；第三次，在上述兩個(gè)恒力F₁和F₂的同時(shí)作用下，仍從O點(diǎn)以同樣初動(dòng)能沿另一方向滑出，恰好通過B點(diǎn)，且到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是初動(dòng)能的6倍，求：
（1）第一次運(yùn)動(dòng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值；
（2）兩個(gè)恒力F₁、F₂的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是多少？并求出F₂的方向與x軸正方向所成的夾角．

Answer 1

分析 （1）只有恒力F₁時(shí)，滑塊做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移的規(guī)律和牛頓第二定律，求第一次運(yùn)動(dòng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與F₁d的關(guān)系，以及初動(dòng)能與F₁d的關(guān)系，即可求解．
（2）加了恒力F₂后，小球從O點(diǎn)分別到A點(diǎn)和B點(diǎn)，分別由功能關(guān)系列方程，再結(jié)合恒力做功的特點(diǎn)進(jìn)行解答．

解答 解：（1）設(shè)小球的初速度為v₀，初動(dòng)能為E_k0，從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為t．令OA=d，則OB=$\frac{3}{2}$d，只有恒力F₁時(shí)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
dsin60°=v₀t
dcos60°=$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$
又 a_x=$\frac{{F}_{1}}{m}$，E_k0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上四式解得 E_k0=$\frac{3}{8}$F₁d
設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_kA，則
E_kA=E_k0+F₁•$\fracp9pzzdb{2}$=$\frac{7}{8}$F₁d
所以可得 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{k0}}$=$\frac{7}{3}$
（2）由上可得，F(xiàn)₁d=$\frac{8}{3}$E_k0
加了恒力F₂后，小球從O點(diǎn)分別到A點(diǎn)和B點(diǎn)，由功能關(guān)系得：
W_F2=3E_k0-E_k0-F₁•$\fraczd3pvpn{2}$=$\frac{2}{3}$E_k0
W_F2′=6E_k0-E_k0-$\frac{3{F}_{1}d}{2}$=E_k0
由恒力做功的特點(diǎn)，可在OB上找到一點(diǎn)M，從O到M點(diǎn)F₂做功與到A點(diǎn)做功相同，M點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，如圖，則有
    $\frac{x}{\frac{3}{2}d}$=$\frac{{W}_{F2}}{{W}_{F2}′}$
解得：x=d
則據(jù)恒力做功特點(diǎn)：F₂的方向必沿AM的中垂線，設(shè)F₂與x軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可得 α=30°
根據(jù)W_F2=F₂•dcos30°=$\frac{2}{3}$E_k0
得：F₂•d=$\frac{4}{3\sqrt{3}}$E_k0
又 F₁d=$\frac{8}{3}$E_k0
所以 $\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=2$\sqrt{3}$
答：
（1）第一次運(yùn)動(dòng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值是$\frac{7}{3}$；
（2）兩個(gè)恒力F₁、F₂的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是2$\sqrt{3}$，F(xiàn)₂的方向與x軸正方向所成的夾角是30°．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式研究分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合功能關(guān)系研究動(dòng)能．