13.勻強電場的方向沿x軸正向,電場強度E隨x的分別如圖所示,圖中E0和d均為已知量,將帶正電的質(zhì)點A在O點由能止釋放,A離開電場足夠遠后,再將另一帶正電的質(zhì)點B放在O點也由靜止釋放,當B在電場中運動時,A、B間的相互作用力及相互作用能均為零;B離開電場后,A、B間的相作用視為靜電作用,已知A的電荷量為Q,A和B的質(zhì)量分別為m和$\frac{m}{8}$,不計重力.
(1)求A在電場中的運動時間t;
(2)若B的電荷量q=Q,求兩質(zhì)點相互作用能的最大值Emax;
(3)為使B先后共三次經(jīng)過x=d的點,求B所帶電荷量應滿足什么條件.

分析 (1)A在電場中時,在電場力作用下做勻加速直線運動,根據(jù)牛頓第二定律求得加速度,由運動學位移公式求解運動時間t;
(2)分析A、B的運動情況:A、B相互作用的過程中,A、B間相互作用力為斥力,A受力方向與其運動方向相同做加速運動,B受力方向與其運動方向相反做減速,當兩者速度相同,最接近時,相互作用能最大,根據(jù)動量守恒和能量守恒,列式求解相互作用能的最大值EPm;
(3)研究A、B在x>d區(qū)間的運動過程,根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒和能量守恒,列式,得到B的速度vB表達式,B能返回,則需要改變運動方向,vB<0,即可求出B所帶電荷量的最小值qm

解答 解:(1)由牛頓第二定律,A在電場中運動的加速a=$\frac{F}{m}$=$\frac{Q{E}_{0}}{m}$
   A在電場中做勻變速直線運動   d=$\frac{1}{2}$at2
解得運動時間t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2dm}{Q{E}_{0}}}$
(2)設(shè)A、B離開電場的速度分別為vA0、vB0,由動能定理,有
     QE0d=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$,qE0d=$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$ 
得:${v}_{A0}=\sqrt{\frac{2Q{E}_{0}d}{m}}$,${v}_{B0}=4\sqrt{\frac{q{E}_{0}d}{m}}$①
A、B相互作用的過程中,動量和能量均守恒,A、B間相互作用力為斥力,A受力方向與其運動方向相同,B受力方向與其運動方向相反,相互作用力A做正功,對B做負功.在AB靠近的過程中,B的路程大于A的路程,由于作用力大小相等,作用力對B做功的絕對值大于對A做功的絕對值,因此相互作用力做功之和為負,相互作用能增加,所以當A、B最接近時,相互作用能最大,因此兩者速度相同,設(shè)v′,有
   (m+$\frac{m}{8}$)v′=mvA0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$   ②
Epm=($\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$)-$\frac{1}{2}$(m+$\frac{m}{8}$)v′2 ③
又已知q=Q,由①②③解得  相互作用能的最大值為 Epm=$(1-\frac{4\sqrt{2}}{9})Q{E}_{0}d$
(3)為使B先后共三次經(jīng)過x=d的點,則B能恰好返回,由動量守恒、能量守恒,且在初態(tài)和末態(tài)均無相互作用,有
  mvA+$\frac{m}{8}{v}_{B}$=mvA0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$  ④
 $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$   ⑤
因B改變運動方向,故vB<0  ⑥
由①④⑤⑥解得  q>$\frac{32}{49}Q$
若B的帶電量足夠大,有可能會在第三次經(jīng)過x=d點后,仍然能夠返回,則一定是在A與B第一次相互作用后,B的速度的大小仍然大于A的速度大小,即:
|vB|≥vA
當取等于號時即為所求臨界條件.
聯(lián)立①④⑤⑥⑦,解得:$q≤\frac{6272}{289}Q$
即為使B先后共三次經(jīng)過x=d的點,B所帶電荷量應滿足$\frac{32}{49}Q<q≤\frac{6272}{289}Q$.
答:(1)A在電場中的運動時間t是$\sqrt{\frac{2dm}{QE{\;}_{{0}_{\;}}}}$;
(2)若B的電荷量q=Q,求兩質(zhì)點相互作用能的最大值Emax是$(1-\frac{4\sqrt{2}}{9})Q{E}_{0}d$.
(3)為使B先后共三次經(jīng)過x=d的點,B所帶電荷量應滿足$\frac{32}{49}Q<q≤\frac{6272}{289}Q$

點評 本題關(guān)鍵要分析兩質(zhì)點的運動情況,把握每個過程的運動規(guī)律,此題類似于彈性碰撞過程,在相互作用過程中,遵守兩大守恒:動量守恒和能量守恒,當兩者速度相等時,相互作用能達到最大.

練習冊系列答案
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C.分子間的引力和斥力都是隨著分子間距離的增大而增大
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(2)實驗過程中,下列做法正確的是BC.
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