Question

13．勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向沿x軸正向，電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x的分別如圖所示，圖中E₀和d均為已知量，將帶正電的質(zhì)點(diǎn)A在O點(diǎn)由能止釋放，A離開(kāi)電場(chǎng)足夠遠(yuǎn)后，再將另一帶正電的質(zhì)點(diǎn)B放在O點(diǎn)也由靜止釋放，當(dāng)B在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，A、B間的相互作用力及相互作用能均為零；B離開(kāi)電場(chǎng)后，A、B間的相作用視為靜電作用，已知A的電荷量為Q，A和B的質(zhì)量分別為m和$\frac{m}{8}$，不計(jì)重力．
（1）求A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）若B的電荷量q=Q，求兩質(zhì)點(diǎn)相互作用能的最大值E_max；
（3）為使B先后共三次經(jīng)過(guò)x=d的點(diǎn)，求B所帶電荷量應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）A在電場(chǎng)中時(shí)，在電場(chǎng)力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）分析A、B的運(yùn)動(dòng)情況：A、B相互作用的過(guò)程中，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相同做加速運(yùn)動(dòng)，B受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反做減速，當(dāng)兩者速度相同，最接近時(shí)，相互作用能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒，列式求解相互作用能的最大值E_Pm；
（3）研究A、B在x＞d區(qū)間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒，列式，得到B的速度v_B表達(dá)式，B能返回，則需要改變運(yùn)動(dòng)方向，v_B＜0，即可求出B所帶電荷量的最小值q_m．

解答 解：（1）由牛頓第二定律，A在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速a=$\frac{F}{m}$=$\frac{Q{E}_{0}}{m}$
   A在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)   d=$\frac{1}{2}$at²
解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2dm}{Q{E}_{0}}}$
（2）設(shè)A、B離開(kāi)電場(chǎng)的速度分別為v_A0、v_B0，由動(dòng)能定理，有
     QE₀d=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$，qE₀d=$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$ 
得：${v}_{A0}=\sqrt{\frac{2Q{E}_{0}d}{m}}$，${v}_{B0}=4\sqrt{\frac{q{E}_{0}d}{m}}$①
A、B相互作用的過(guò)程中，動(dòng)量和能量均守恒，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相同，B受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反，相互作用力A做正功，對(duì)B做負(fù)功．在AB靠近的過(guò)程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力對(duì)B做功的絕對(duì)值大于對(duì)A做功的絕對(duì)值，因此相互作用力做功之和為負(fù)，相互作用能增加，所以當(dāng)A、B最接近時(shí)，相互作用能最大，因此兩者速度相同，設(shè)v′，有
   （m+$\frac{m}{8}$）v′=mv_A0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$   ②
E_pm=（$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$）-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{m}{8}$）v^′2 ③
又已知q=Q，由①②③解得  相互作用能的最大值為 E_pm=$（1-\frac{4\sqrt{2}}{9}）Q{E}_{0}d$
（3）為使B先后共三次經(jīng)過(guò)x=d的點(diǎn)，則B能恰好返回，由動(dòng)量守恒、能量守恒，且在初態(tài)和末態(tài)均無(wú)相互作用，有
  mv_A+$\frac{m}{8}{v}_{B}$=mv_A0+$\frac{m}{8}{v}_{B0}$  ④
 $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{A0}^{2}$+$\frac{1}{2}•\frac{m}{8}•{v}_{B0}^{2}$   ⑤
因B改變運(yùn)動(dòng)方向，故v_B＜0  ⑥
由①④⑤⑥解得  q＞$\frac{32}{49}Q$
若B的帶電量足夠大，有可能會(huì)在第三次經(jīng)過(guò)x=d點(diǎn)后，仍然能夠返回，則一定是在A與B第一次相互作用后，B的速度的大小仍然大于A的速度大小，即：
|v_B|≥v_A⑦
當(dāng)取等于號(hào)時(shí)即為所求臨界條件．
聯(lián)立①④⑤⑥⑦，解得：$q≤\frac{6272}{289}Q$
即為使B先后共三次經(jīng)過(guò)x=d的點(diǎn)，B所帶電荷量應(yīng)滿足$\frac{32}{49}Q＜q≤\frac{6272}{289}Q$．
答：（1）A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是$\sqrt{\frac{2dm}{QE{\;}_{{0}_{\;}}}}$；
（2）若B的電荷量q=Q，求兩質(zhì)點(diǎn)相互作用能的最大值E_max是$（1-\frac{4\sqrt{2}}{9}）Q{E}_{0}d$．
（3）為使B先后共三次經(jīng)過(guò)x=d的點(diǎn)，B所帶電荷量應(yīng)滿足$\frac{32}{49}Q＜q≤\frac{6272}{289}Q$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，此題類似于彈性碰撞過(guò)程，在相互作用過(guò)程中，遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒和能量守恒，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相互作用能達(dá)到最大．