Question

如圖所示，在坐標系xOy的第一、第三象限內存在相同的勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面向里；第四象限內有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E．一帶電量為+q、質量為m的粒子，自y軸的P點沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點進入第一象限，隨即撤去電場，以后僅保留磁場．已知OP=d，OQ=2d，不計粒子重力．
（1）求粒子過Q點時速度的大小和方向．
（2）若磁感應強度的大小為一定值B₀，粒子將以垂直y軸的方向進入第二象限，求B₀．
（3）若磁感應強度的大小為另一確定值，經(jīng)過一段時間后粒子將再次經(jīng)過Q點，且速度與第一次過Q點時相同，求該粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在第四象限的電場中做類平拋運動，將運動安水平方向與豎直方向分解，并結合動能定理可以求出粒子的速度和方向．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，作出粒子的運動軌跡，由數(shù)學知識求出粒子的軌道半徑；洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應強度．
（3）求出粒子在磁場中的運動時間，求出粒子在二四象限運動的時間，然后求出粒子總的運動時間．

解答：解：（1）粒子在第四象限的電場中做類平拋運動，水平方向：2d=v₀t
豎直方向做勻加速直線運動，最大速度v_y：d=

1

2

vyt
vy=at=

qE

m

?t
聯(lián)立以上三公式，得：v0=vy=

2qEd m

粒子的合速度：v=

v 2 0 + v 2 y

=2

qEd m

設合速度與水平方向的夾角為θ，則：tanθ=

vy

v0

=1，故θ=45°
（2）粒子以垂直y軸的方向進入第二象限，則粒子偏轉的角度是135°，圓心到O點的距離是2d，射出點到O點的距離是4d．偏轉半徑r=2

2

d
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，即：qvB0=

mv2

r

代人數(shù)據(jù)，整理得：B0=

mE 2qd

（3）若經(jīng)過一段時間后粒子能夠再次經(jīng)過Q點，且速度與第一次過Q點時相同則粒子運動的軌如圖：

它在磁場中運動的半徑：r′=

1

2

r=

2

d
粒子在一、三象限中運動的總時間：t1=

2πr′

v

=π

2md qE

粒子中二、四象限中運動軌跡的長度：s=2

2

d
粒子中二、四象限中運動的時間：t2=

2s

v

=2

2md qE

粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點所用的時間：t=t1+t2=(2+π)

2md qE

答：（1）粒子過Q點時速度的大小v=2

qEd m

，與水平方向的夾角θ=45°  （2）粒子以垂直y軸的方向進入第二象限時B0=

mE 2qd

（3）粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點所用的時間t=(2+π)

2md qE

點評：本題是帶電粒子在電場、磁場中運動的綜合題，根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡．應用數(shù)學知識求出粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑、粒子轉過的圓心角，是本題的難點，也是正確解題的關鍵．