Question

9．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強磁場B，A為磁場邊界上的一點．有大量完全相同的帶電粒子沿紙面內(nèi)向各個方向以相同的速率v通過A點進入磁場，最后這些粒子都從圓弧AB上射出磁場區(qū)域，AB圓弧的弧長是圓O周長的$\frac{1}{3}$，不計粒子之間的相互作用，粒子的質(zhì)量為m，電量為q．求：
（1）圓形磁場區(qū)域的半徑R；
（2）粒子在磁場中運動的最大時間；
（3）用斜線描出粒子所能到達的圓形磁場區(qū)域內(nèi)的面積；（需用尺規(guī)作圖）
（4）若把磁場撤去，加平行于紙面的電場E，發(fā)現(xiàn)所有從A點射入的粒子，從B點離開時動能最大，求最大動能．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中運動的半徑不變，隨入射速度方向的變化，運動軌跡的位置發(fā)生改變，覆蓋AB圓弧的運動軌跡為2，根據(jù)幾何關(guān)系可求圓形磁場區(qū)域的半徑R；
（2）帶電粒子在磁場中運動的半徑不變，速率不變，弧長越長，時間越大，所以粒子在磁場中運動的最大時間為圖一中軌跡1所對應(yīng)的時間；
（3）帶電粒子在磁場中運動的半徑不變，隨入射速度方向的變化，運動軌跡的位置發(fā)生改變，粒子所能到達的面積如圖二中陰影部分；
（4）電場線的方向沿AB方向時，電場力做功最多，末動能最大，依據(jù)動能定理，即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)軌道半徑小于或等于磁場區(qū)半徑時，粒子射出圓形磁場的點離入射點最遠距離為軌跡直徑．如圖一所示，當(dāng)粒子從$\frac{1}{3}$圓周射出磁場時，粒子在磁場中運動的軌道直徑為AB，粒子都從圓弧AB之間射出，
根據(jù)幾何關(guān)系軌道半徑：r₁=Rcos30°，r₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R  ①
粒子在磁場中做圓周運動：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，r₁=$\frac{mv}{qB}$    ②
有①②解得：R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$
（2）帶電粒子在磁場中運動的半徑不變，速率不變，弧長越長，時間越大，所以粒子在磁場中運動的最大時間為圖一中軌跡1所對應(yīng)的時間最大
t=T=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
（3）以A點為圓心AB為半徑畫圓弧交圓弧1與D點交圓弧2與B點，粒子所能到達的圓形磁場區(qū)域內(nèi)的面積為圖中陰影部分的面積；
（4）從B點離開時粒子動能最大，可見粒子從A點運動到B點時電場力做正功最多，那么B點所在的等勢線是圓形區(qū)域在B點的切線，而電場線與等勢線垂直，則當(dāng)粒子帶正電時，電場線沿OB方向，當(dāng)粒子帶負電時，電場線沿BO方向，但并不影響計算結(jié)果；
因此從A點運動到B點，電場力做功W=qE（R+Rcos60°）=$\frac{3}{2}$qER，
由動能定理，最大動能E_km=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{3}{2}$qER=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$
答：（1）圓形磁場區(qū)域的半徑R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（2）粒子在磁場中運動的最大時間為$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子所能到達的圓形磁場區(qū)域內(nèi)的面積見圖二；
（4）粒子從B點離開時最大動能為$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在磁場中運動的問題，要求同學(xué)們能正確計算粒子運動半徑，再通過入射速度方向的變化分析粒子運動軌跡的變化，運用所學(xué)的幾何知識可解決前三個問題，最后一問為動能定理的應(yīng)用，總體上難度適中．