Question

4．如圖所示，水平固定的光滑U形金屬框架寬為L(zhǎng)，足夠長(zhǎng)，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，框架通過一只電阻R在左端連接有一電容為C的電容器（金屬框架、金屬棒及導(dǎo)線的電阻均可忽略不計(jì)），整個(gè)裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)給棒ab一個(gè)初速度v₀，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)．
（1）試求金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電容器的帶電量；
（2）試畫出電容器的帶電量Q隨兩端電壓U的變化曲線，并根據(jù)曲線求出電容器上儲(chǔ)存的能量；
（3）不計(jì)電路向外界輻射的能量，試求出電阻R上消耗的能量．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)量定理與電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$可以求出電容器所帶的電荷量．
（2）根據(jù)U=CU作出圖象，然后根據(jù)圖象面積求出電熱器儲(chǔ)存的能量．
（3）由能量守恒定律求出電阻消耗的電能．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒ab做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這時(shí)電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，電路中沒有充電電流，電容兩端電壓等于電動(dòng)勢(shì)即：E=BLv=U_C …①
電容器兩端電壓：U_C=$\frac{{Q}_{C}}{C}$…②
對(duì)導(dǎo)體棒ab，由動(dòng)量定理可得：
-BLQ_c=mv-mv₀ …③
由①②③式聯(lián)立可求得：v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$…④，
電容器的電荷量：Q_C=CBLv=$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$…⑤；
（2）由①④可得：U=$\frac{BLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
電容器的電荷量：Q=CU，Q-U圖象如圖所示：
電容器上儲(chǔ)存的能量：E_C=$\frac{1}{2}$QU=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
（2）由能量守恒定律得，電阻消耗的能量：
E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²-E_C=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{2}-{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
答：（1）求金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電容器的帶電量為$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$；
（2）電容器的帶電量Q隨兩端電壓U的變化曲線如圖所示，電容器上儲(chǔ)存的能量為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$；
（3）電阻R上消耗的能量為$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{2}-{B}^{2}{L}^{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}C}{2（m+{B}^{2}{L}^{2}C）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求電荷量、能量問題，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用電容的定義式、動(dòng)量定理、能量守恒定律即可正確解題．