Question

4．如圖，在x≤10cm的區(qū)域內(nèi)存在垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的放射源在xy平面內(nèi)向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶正點(diǎn)的a粒子．一部分a粒子從磁場(chǎng)邊界離開，已知能夠從邊界射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間等于$\frac{T}{6}$（T為a粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期）．忽略空氣阻力以及a粒子間的相互影響，若a粒子的電荷量與質(zhì)量之比$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg．求：
（1）a粒子的發(fā)射速度；
（2）在磁場(chǎng)邊界上a粒子離開磁場(chǎng)的范圍；
（3）離開磁場(chǎng)的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑是一定的，要使運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角應(yīng)最小，軌跡對(duì)應(yīng)的弦應(yīng)最短，可知粒子從坐標(biāo)為（10cm，0）點(diǎn)射出磁場(chǎng)．由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，即可求解速度．
（2）粒子沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，畫出臨界狀態(tài)軌跡，即可得到范圍．
（3）根據(jù)上述范圍確定發(fā)射時(shí)速度的夾角范圍，求解離開磁場(chǎng)的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比．

解答 解：（1）要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，粒子應(yīng)從坐標(biāo)為（10cm，0）的b點(diǎn)射出磁場(chǎng)．其軌跡如圖1所示．設(shè)粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則 t=$\frac{θ}{2π}$T

由題意有：t=$\frac{T}{6}$，則得：θ=$\frac{π}{3}$=60°
軌跡半徑為：r=$\frac{\frac{1}{2}Ob}{sin30°}$=Ob=0.1m
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\frac{qBr}{m}$=5.0×10⁷×0.6×0.1=3×10⁶m/s
（2）畫出粒子打邊界上兩端時(shí)的軌跡如圖2所示．

由于r=Ob，由幾何知識(shí)知，當(dāng)粒子的軌跡磁場(chǎng)邊界相切時(shí)打在邊界的最上端b點(diǎn)，db=r=0.1m
當(dāng)粒子的發(fā)射速度沿-y軸方向時(shí)粒子打在邊界的最下端c點(diǎn)，cb=r=0.1m
故在磁場(chǎng)邊界上a粒子離開磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度為：dc=0.2m
（3）由上分析知，粒子發(fā)射速度方向沿x軸正方向到沿y軸負(fù)方向范圍的粒子都能離開磁場(chǎng)，所以離開磁場(chǎng)的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比為：
η=$\frac{90°}{360°}$×100%=25%
答：（1）a粒子的發(fā)射速度為3×10⁶m/s；
（2）在磁場(chǎng)邊界上a粒子離開磁場(chǎng)的范圍長(zhǎng)度為0.2m；
（3）離開磁場(chǎng)的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比為25%．

點(diǎn)評(píng) 本題中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要通過(guò)畫出軌跡，確定臨界條件求解軌跡半徑，可運(yùn)用幾何知識(shí)理解時(shí)間最短對(duì)應(yīng)的條件．