Question

4．如圖，在x≤10cm的區(qū)域內(nèi)存在垂直于xy平面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小B=0.60T，一位于坐標原點的放射源在xy平面內(nèi)向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶正點的a粒子．一部分a粒子從磁場邊界離開，已知能夠從邊界射出的粒子在磁場中運動的最短時間等于$\frac{T}{6}$（T為a粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期）．忽略空氣阻力以及a粒子間的相互影響，若a粒子的電荷量與質(zhì)量之比$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg．求：
（1）a粒子的發(fā)射速度；
（2）在磁場邊界上a粒子離開磁場的范圍；
（3）離開磁場的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中運動的軌跡半徑是一定的，要使運動時間最短，軌跡對應的圓心角應最小，軌跡對應的弦應最短，可知粒子從坐標為（10cm，0）點射出磁場．由幾何關系求出軌跡半徑，即可求解速度．
（2）粒子沿逆時針方向做勻速圓周運動，畫出臨界狀態(tài)軌跡，即可得到范圍．
（3）根據(jù)上述范圍確定發(fā)射時速度的夾角范圍，求解離開磁場的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比．

解答 解：（1）要使粒子在磁場中運動時間最短，粒子應從坐標為（10cm，0）的b點射出磁場．其軌跡如圖1所示．設粒子軌跡對應的圓心角為θ，則 t=$\frac{θ}{2π}$T

由題意有：t=$\frac{T}{6}$，則得：θ=$\frac{π}{3}$=60°
軌跡半徑為：r=$\frac{\frac{1}{2}Ob}{sin30°}$=Ob=0.1m
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\frac{qBr}{m}$=5.0×10⁷×0.6×0.1=3×10⁶m/s
（2）畫出粒子打邊界上兩端時的軌跡如圖2所示．

由于r=Ob，由幾何知識知，當粒子的軌跡磁場邊界相切時打在邊界的最上端b點，db=r=0.1m
當粒子的發(fā)射速度沿-y軸方向時粒子打在邊界的最下端c點，cb=r=0.1m
故在磁場邊界上a粒子離開磁場的范圍長度為：dc=0.2m
（3）由上分析知，粒子發(fā)射速度方向沿x軸正方向到沿y軸負方向范圍的粒子都能離開磁場，所以離開磁場的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比為：
η=$\frac{90°}{360°}$×100%=25%
答：（1）a粒子的發(fā)射速度為3×10⁶m/s；
（2）在磁場邊界上a粒子離開磁場的范圍長度為0.2m；
（3）離開磁場的a粒子占放射源發(fā)射總量的百分比為25%．

點評 本題中粒子在磁場中運動時，關鍵要通過畫出軌跡，確定臨界條件求解軌跡半徑，可運用幾何知識理解時間最短對應的條件．