Question

18．“玉兔號(hào)”登月車在月球表面接觸的第一步實(shí)現(xiàn)了中國人“奔月”的偉大夢想．機(jī)器人“玉兔號(hào)”在月球表面做了一個(gè)自由下落試驗(yàn)，測得物體從靜止自由下落h高度的時(shí)間t，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．則（　　）

• A． 月球表面重力加速度為$\frac{{t}^{2}}{2h}$
• B． 月球的第一宇宙速度為$\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$
• C． 月球同步衛(wèi)星離月球表面高度$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R
• D． 月球質(zhì)量為$\frac{h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$

Answer 1

分析 機(jī)器人自由下落h高度所用時(shí)間為t，根據(jù)：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出月球表面的重力加速度g．
根據(jù)重力提供向心力$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，可以計(jì)算月球的第一宇宙速度．
根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，計(jì)算月球的質(zhì)量．
月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，化簡可得月球同步衛(wèi)星離月球表面高度h．

解答 解：A、由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：h=$\frac{1}{2}$gt²，所以有：$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$，故A錯(cuò)誤．
B、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)重力提供向心力$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，所以${v}_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故B正確．
C、月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，解得h=$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C正確．
D、在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，所以$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．本題重點(diǎn)是利用好月球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種以在星球表面自由落體，或平拋物體，或豎直上拋物體給星球表面重力加速度的方式是比較常見的．