Question

10．如圖所示，粗糙的水平軌道與光滑的半圓軌道BCD相切連接，BD為半圓軌道的豎直直徑，且BD的長d=0.8m，一質(zhì)量M=0.5kg的物體乙靜止于A點，在A點左側(cè)x₁=2m處由一質(zhì)量m=1kg的物體甲以v₀=$\sqrt{37}$m/s的初速度向右運動，與乙發(fā)生彈性碰撞，碰撞后物體乙恰好能滑過D點，物體乙過D點后被拿走，不再落回水平軌道，已知物體甲與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.025，AB間的距離x₂=5m，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物體乙與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ₂；
（2）物體甲最終停止的位置到B點的距離x．

Answer 1

分析 （1）物體乙恰好能滑過D點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出B通過D點時的速度．甲從開始位置運動到A處的過程，由動能定理列式，求得甲碰撞前的速度．對于甲乙碰撞過程，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列式，求得碰后兩者的速度．再由乙從A到D的過程，運用動能定理可求得物體乙與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ₂；
（2）假設甲能運動到與圓軌道圓心等高的C處，由機械能守恒求出B點的速度滿足的條件，從而判斷出甲能否到達C處，再由動能定理求物體甲最終停止的位置到B點的距離x．

解答 解：（1）乙恰能通過D點，所以在D點乙的重力等于向心力，即有：
Mg=M$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，其中r=$\fracjvchnpx{2}$=0.4m
解得：v_D=2m/s
乙在B點時速度滿足：$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$=Mgd+$\frac{1}{2}M{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
甲從開始運動至A點，由動能定理得：
-μ₁mgx₁=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
對于甲乙發(fā)生彈性碰撞的過程，取向右為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律得：
mv_A=mv_甲+Mv_乙．
$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_甲²+$\frac{1}{2}$Mv_乙²．
聯(lián)立解得：v_甲=2m/s，v_乙=8m/s
乙從A到B的過程，有：-μ₂Mgx₂=$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{乙}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.44
（2）若甲能滑到與半圓軌道圓心等高處，在B點的速度滿足：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgr
代入數(shù)據(jù)解得：v=2$\sqrt{2}$m/s＞v_甲=2m/s，所以甲不可能滑到與半圓軌道圓心等高處，則有：
0-$\frac{1}{2}$mv_甲²=-μ₁mgs
代入數(shù)據(jù)解得：s=8m
所以物體甲最終停止的位置到B點的距離為：x=s-x₂=8m-5m=3m
答：（1）物體乙與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ₂是0.44．
（2）物體甲最終停止的位置到B點的距離x是3m．

點評 本題按時間順序分析甲乙的運動情況，涉及距離求速度時往往根據(jù)動能定理列式．對于彈性碰撞，要抓住兩大守恒定律：動量守恒定律和機械能守恒定律．要知道滑動摩擦力做功與總路程有關(guān)．