Question

20．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球沿水平軌道向左運(yùn)動(dòng)，以速度V通過(guò)O點(diǎn)后，進(jìn)入半徑為R的半圓弧軌道，恰能通過(guò)最高點(diǎn)C，然后落回水平面．不計(jì)一切阻力．求：
（1）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為多少？
（2）小球落地時(shí)的速度如何？
（3）求小球運(yùn)動(dòng)到半圓弧O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）（2）到達(dá)最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力，根據(jù)牛頓第二定律求得速度，從最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，求得通過(guò)的水平位移和落地時(shí)的速度；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求得在O點(diǎn)對(duì)軌道的作用力

解答 解：（1）由題意：小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道壓力N=0
$mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$
落到地面上時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平位移為：X=v_ct=2R 
（2）水平速度為：V₀=$\sqrt{gR}$    
豎直分速度為：V_y=gt=2$\sqrt{gR}$
V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}=\sqrt{5gR}$
設(shè)速度方向與水平成θ角，則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=2
（3）設(shè)小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)與管子間的作用力為F_N，到O點(diǎn)后在圓弧面有：
F_N-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力為�?br />F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
答：（1）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為2R
（2）小球落地時(shí)的速度為$\sqrt{5gR}$，與水平方向的夾角的正切值為2
（3）求小球運(yùn)動(dòng)到半圓弧O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)的臨界情況，以及掌握平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法