Question

20．如圖所示，一個質量為m的小球沿水平軌道向左運動，以速度V通過O點后，進入半徑為R的半圓弧軌道，恰能通過最高點C，然后落回水平面．不計一切阻力．求：
（1）小球落地點離O點的水平距離為多少？
（2）小球落地時的速度如何？
（3）求小球運動到半圓弧O點時對軌道的壓力大小．

Answer 1

分析 （1）（2）到達最高點對軌道無壓力，根據牛頓第二定律求得速度，從最高點做平拋運動，求得通過的水平位移和落地時的速度；
（3）根據牛頓第二定律求得在O點對軌道的作用力

解答 解：（1）由題意：小球恰好通過最高點C時，對軌道壓力N=0
$mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$
落到地面上時，根據運動學公式可得：
$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
運動時間為：$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平位移為：X=v_ct=2R 
（2）水平速度為：V₀=$\sqrt{gR}$    
豎直分速度為：V_y=gt=2$\sqrt{gR}$
V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}=\sqrt{5gR}$
設速度方向與水平成θ角，則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=2
（3）設小球經過O點時與管子間的作用力為F_N，到O點后在圓弧面有：
F_N-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律可知，小球對軌道的壓力為：
F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
答：（1）小球落地點離O點的水平距離為2R
（2）小球落地時的速度為$\sqrt{5gR}$，與水平方向的夾角的正切值為2
（3）求小球運動到半圓弧O點時對軌道的壓力大小為mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$

點評 解決本題的關鍵知道小球恰好到達最高點的臨界情況，以及掌握平拋運動的處理方法