Question

9．兩個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的相同圓球A和B，用兩根長(zhǎng)為l（l=2R）的繩懸掛于O點(diǎn)，在兩球上另有一個(gè)質(zhì)量為m（m=nM）、半徑為r（r=$\frac{1}{2}$R）的圓球C，如圖所示，已知三球的表面光滑，試討論此系統(tǒng)處于平衡時(shí)，繩與豎直線的夾角θ與n的關(guān)系．附幾個(gè)平方根值如下：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{8}$=1.73，$\sqrt{5}$=2.24，$\sqrt{6}$=2.45，$\sqrt{7}$=2.65，$\sqrt{10}$=3.16．

Answer 1

分析 先對(duì)上面球分析，根據(jù)平衡條件列式，再對(duì)下面球受力分析，根據(jù)平衡條件列式，再結(jié)合幾何關(guān)系，最后聯(lián)立求解即可

解答 解：對(duì)小球C受力分析，受重力和兩個(gè)支持力，如圖所示
根據(jù)平衡條件，有：2Ncosβ=mg①
再對(duì)A球進(jìn)行受力分析，如圖
水平方向：Tsinθ-Nsinβ=0②
豎直方向：Tcosθ-Ncosβ-Mg=0③
且m=nM④
根據(jù)幾何關(guān)系有：$\frac{R+l}{sin（π-β）}=\frac{R+r}{sinθ}$⑤
$r=\frac{R}{2}$⑥
l=2R⑦
聯(lián)立①～③得：（n+2）tanθ=ntanβ⑧
⑤⑥⑦sinβ=2sinθ⑨
聯(lián)立⑧⑨兩式得：$sinθ=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4n+4-3{n}_{\;}^{2}}{n+1}}$
答：繩與豎直方向的夾角與n的關(guān)系為$sinθ=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4n+4-3{n}_{\;}^{2}}{n+1}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是力平衡問(wèn)題，關(guān)鍵是靈活選擇研究對(duì)象，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解，求解過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)要求很高，難度很大．