Question

8．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌相距L=1m，PM、QN部分水平放置在絕緣桌面上，半徑a=1m的金屬半圓導(dǎo)軌處在豎直平面內(nèi)，兩部分分別在M、N處相切，PQ左端與R=2Ω的電阻連接．一質(zhì)量為m=1kg、電阻r=1Ω的金屬棒放在導(dǎo)軌上的PQ處并與兩導(dǎo)軌始終垂直．整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，g取10m/s²．
（1）導(dǎo)體棒以v=3m/s速度在水平軌道上向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)體棒受到的安培力；
（2）若導(dǎo)體棒恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)CD處，求通過(guò)CD處時(shí)電阻R上的電功率；
（3）設(shè)L_PM=L_QN=3m，若導(dǎo)體棒從PQ處以3m/s勻速率沿著軌道運(yùn)動(dòng)，求導(dǎo)體棒從PQ運(yùn)動(dòng)到CD的過(guò)程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由$I=\frac{E}{R+r}$和F=BIL結(jié)合求解安培力的大�。�由左手定則判斷其方向．
（2）導(dǎo)體棒恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)CD處，在CD處，由重力提供向心力，列式求得最高點(diǎn)處的速度，再由法拉第定律和功率公式結(jié)合求解電阻R上的電功率．
（3）電路中產(chǎn)生的焦耳熱分兩段求：一段在水平軌道上，由E=BLv和焦耳定律結(jié)合求解．另一段在半圓軌道上，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E_m=BLv，此過(guò)程中導(dǎo)體棒產(chǎn)生正弦式電流，由電動(dòng)勢(shì)有效值與最大值的關(guān)系，求得有效值，用有效值求焦耳熱．

解答 解：（1）由E=BLv，$I=\frac{E}{R+r}$，F(xiàn)=BIL
解得：安培力大小 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{1}^{2}×{1}^{2}×3}{2+1}$N=1N，方向水平向左          
（2）在最高點(diǎn)CD處，有mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{a}$，得 ${v_2}=\sqrt{10}m/s$
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv₂
電阻R上的電功率 $P={（\frac{{BL{v_2}}}{R+r}）^2}R$=$\frac{20}{9}W$=2.2W
（3）在水平軌道上，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv，焦耳熱為  ${Q_1}=\frac{{{{（BLv）}^2}}}{R+r}{t_1}$=3J        
在半圓軌道上，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E_m=BLv=3V
導(dǎo)體棒勻速率沿著軌道運(yùn)動(dòng)，在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)體棒產(chǎn)生正弦式電流，則
${Q_2}=\frac{{{{（\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}）}^2}}}{R+r}{t_2}$=$\frac{{{{（\frac{BLv}{{\sqrt{2}}}）}^2}}}{R+r}×\frac{πa}{v}$=$\frac{π}{2}$J=1.57J
故總焦耳熱為 Q=Q₁+Q₂=4.57J
答：
（1）導(dǎo)體棒受到的安培力大小為1N，方向水平向左；
（2）若導(dǎo)體棒恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)CD處，通過(guò)CD處時(shí)電阻R上的電功率是2.2W；
（3）導(dǎo)體棒從PQ運(yùn)動(dòng)到CD的過(guò)程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱是4.57J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、交變電流的綜合，要明確導(dǎo)體棒恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)CD處的臨界條件，把握在半圓軌道上產(chǎn)生的感應(yīng)電流規(guī)律，知道對(duì)于交變電流，必須用有效值求熱量．