Question

11．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存了一定量的彈性勢(shì)能E_p．現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn)₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺(tái)面等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長為L=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：

（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p
（2）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，且只�?huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）先要清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過程，A到B的過程為平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出時(shí)間．知道運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化給物塊的動(dòng)能．
（2）從A點(diǎn)到最后停在軌道CD上的某點(diǎn)p，物塊的動(dòng)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化給摩擦力做功產(chǎn)生的內(nèi)能．根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．由于p點(diǎn)的位置不確定，要考慮物塊可能的滑過的路程．

解答 解：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（1.2-0.6）}{10}}$s=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s≈0.346s   
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知：h₂=h₁（1-cos∠BOC），
解得：∠BOC=60°
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：tan60°=$\frac{gt}{v1}$，
解得：v₁=$\frac{gt}{tan60°}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{5}}{\sqrt{3}}$=2m/s         
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，原來壓縮的彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$=2J
（2）依據(jù)題意知，①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
mgh₁+E_p＞μmgL
代入數(shù)據(jù)解得：μ＜$\frac{1}{2}$
②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，
由能量關(guān)系有：mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL
可知即使μ=0，有：
$\frac{1}{2}$mv₂²=14J   
 $\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)．
故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，
因此有：$\frac{1}{8}$mv₂²≤2μmgL，
聯(lián)立解得：μ≥$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p是2J．
（2）μ的取值范圍：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中涉及的物理過程比較多，應(yīng)該先清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題．
關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化．