Question

18．如圖所示為回旋加速器的示意圖．它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條狹縫；兩個D型盒處在勻強磁場中并接在高頻交變電源上．在D₁盒中心A處有離子源，它產(chǎn)生并發(fā)出的正離子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進入D₂盒中．在磁場力的作用下運動半個圓周后，垂直通過狹縫，再經(jīng)狹縫電壓加速；為保證粒子每次經(jīng)過狹縫都被加速，設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致．如此周而復(fù)始，速度越來越大，運動半徑也越來越大，最后到達D型盒的邊緣，以最大速度被導(dǎo)出．已知正離子是α粒子，其電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應(yīng)強度為B，D型盒的半徑為R，設(shè)狹縫很窄，粒子通過狹縫的時間可以忽略不計．設(shè)正離子從離子源發(fā)出時的初速度為零．（不計粒子重力）求：
（1）α粒子在第n次加速后獲得速率．
（2）α粒子在第n次加速后與第n+1次加速后位置之間的距離△x．
（3）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核獲得與α粒子相同的動能，請你通過分析，提出一個簡單可行的辦法．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)nqU=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$，即可求解加速后獲得速率．
（2）回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)來加速粒子，根據(jù)動能定理求出n次加速后的速度，求出軌道半徑，抓住規(guī)律，求出△x．
（3）回旋加速器加速粒子時，粒子在磁場中運動的周期和交流電變化的周期相同．已知氘核與α粒子的質(zhì)量比和電荷比，根據(jù)最大動能相等，得出磁感應(yīng)強度的關(guān)系，以及根據(jù)周期公式，得出交流電的周期變化．

解答 解：（1）α粒子在電場中被加速，根據(jù)動能定理，設(shè)此時的速度為v_n，
則有：nqU=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$，
解得：v_n=$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$
（2）α粒子經(jīng)電場第1次加速后，以速度v₁進入D₂盒，設(shè)軌道半徑為r₁
則  r₁=$\frac{m{v}^{2}}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
α粒子經(jīng)第2次電場加速后，以速度v₂進入D₁盒，設(shè)軌道半徑為r₂
則 r₂=$\frac{m{v}^{2}}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2×2mU}{q}}$
α粒子已經(jīng)過n次電場加速，以速度v_n進入D₂盒，由動能定理：
  nUq=$\frac{1}{2}$m${v}_{n}^{2}$
軌道半徑 r_n=$\frac{m{v}_{n}}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$
α粒子已經(jīng)過n+1次電場加速，以速度v_n+1進入D₁盒，由動能定理：
  （n+1）Uq=$\frac{1}{2}$m${v}_{n+1}^{2}$
軌道半徑：r_n+1=$\frac{m{v}_{n+1}}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{（n+1）•2mU}{q}}$
則△x=2（r_n+1-r_n）（如圖所示）
解得，△x=2（$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{（n+1）•2mU}{q}}$-$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$）=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2Um}{q}}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
（3）加速器加速帶電粒子的能量為E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$，
由α粒子換成氘核，有$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$=$\frac{（\frac{q}{2}）^{2}{B}_{1}^{2}{R}^{2}}{2（\frac{m}{2}）}$，則B₁=$\sqrt{2}$B，即磁感應(yīng)強度需增大為原來的$\sqrt{2}$ 倍；
高頻交流電源的周期T=$\frac{2πm}{qB}$，由α粒子換為氘核時，交流電源的周期應(yīng)為原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．
 答：（1）α粒子在第n次加速后獲得速率$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$．
（2）α粒子在第n次加速后與第n+1次加速后位置之間的距離$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2Um}{q}}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）．
（3）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核獲得與α粒子相同的動能，則磁感應(yīng)強度需增大為原來的$\sqrt{2}$ 倍，或者交流電源的周期應(yīng)為原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道回旋加速器利用磁場偏轉(zhuǎn)和電場加速實現(xiàn)加速粒子，粒子在磁場中運動的周期和交流電的周期相等．