Question

6．在某空間中存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{mv}{qL}$，原點(diǎn)O處有一粒子源，可均勻地向xOy平面內(nèi)的各個(gè)方向不斷地發(fā)射速度均為v的同種帶電粒子，帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，在x軸上距離原點(diǎn)O為L(zhǎng)處，垂直于x軸立一個(gè)薄金屬板P，如圖所示，金屬板的厚度不計(jì)，不計(jì)帶電粒子的重力和粒子間相互作用力
（1）求粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑；
（2）若要使薄金屬板P的右側(cè)不能接收到帶電粒子，試確定薄金屬板的最小長(zhǎng)度；
（3）薄金屬板P左側(cè)面在x軸上方與下方接收到的粒子數(shù)之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端，且速度方向與y軸平行”畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，寫(xiě)出洛倫茲力提供向心力的方程，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；
（2）作圖，得出使薄金屬板右側(cè)不能接收到帶電粒子的擋板的最小長(zhǎng)度；
（3）作圖，得出打在薄金屬板P左側(cè)面在x軸上方與下方的粒子的入射角的范圍即可．

解答 解：（1）由題，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：$r=\frac{mv}{qB}=L$…①
（2）作圖得出使薄金屬板右側(cè)能接收到帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡中，打在最上面的點(diǎn)的軌跡與打在最下面的粒子的軌跡如圖，擋板的位置在圖中的MN出即可滿足題目的要求．
打在最上面的點(diǎn)的軌跡恰好經(jīng)過(guò)了$\frac{1}{4}$周期，
打在最下面的點(diǎn)的軌跡恰好也經(jīng)過(guò)了$\frac{1}{4}$周期，所以P板的長(zhǎng)度：L=2r=2L
（3）由上圖可知，沿水平向右的方向設(shè)入的粒子恰好打在P的 上邊緣，沿y軸負(fù)方向射入的兩種恰好打在P的下邊緣，角度的范圍是90°，
打在P與x軸交點(diǎn)處的粒子的軌跡如右圖，則：
由圖可知，△OO′A是等邊三角形，所以入射粒子與x軸的夾角是30°．所以在90°角的范圍內(nèi)，有30°角的范圍內(nèi)的粒子打在P的x軸以上，另外60°角的范圍內(nèi)的粒子打在x軸以下．
所以薄金屬板P左側(cè)面在x軸上方與下方接收到的粒子數(shù)之比：$\frac{{n}_{上}}{{n}_{下}}=\frac{30°}{60°}=\frac{1}{2}$
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑是L；
（2）若要使薄金屬板P的右側(cè)不能接收到帶電粒子，薄金屬板的最小長(zhǎng)度是2L；
（3）薄金屬板P左側(cè)面在x軸上方與下方接收到的粒子數(shù)之比是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．