Question

【題目】如圖甲所示，一光滑絕緣的水平軌道固定在離地面一定高度處，整個(gè)空間存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一質(zhì)量為2m、不帶電的彈性小球A以速度v0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)。軌道邊緣處鎖定一大小與A相同、質(zhì)量為m、電荷量為-q的彈性小球B。兩球碰前瞬間解除對(duì)小球B的鎖定。已知該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為，重力加速度為g，兩球碰撞過程中電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移，空氣阻力不計(jì)。

（1）求兩球再次碰撞前相距的最大距離Δx，并分析說明為確保兩球能夠再次碰撞，水平軌道離地面的高度h應(yīng)當(dāng)滿足的條件；

（2）為縮短兩球再次碰撞的時(shí)間間隔，某同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種方案，一種方案是僅增大彈性小球入的質(zhì)量；另一種方案是僅增加該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。請(qǐng)你對(duì)這兩種方案的可行性進(jìn)行分析評(píng)價(jià)；

（3）若在兩球第一次碰后瞬間，迅速撤去電場(chǎng)并同時(shí)在整個(gè)空間加一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，請(qǐng)?jiān)趫D乙中定性畫出小球B此后的運(yùn)動(dòng)軌跡。

Answer 1

【答案】（1）（2），僅增加該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)這一方案可行

（3）如圖所示：

【解析】本題考查物體的彈性碰撞及帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需運(yùn)用動(dòng)量守恒、能量守恒、運(yùn)動(dòng)的合成和分解等規(guī)律求解。

（1）設(shè)小球A、B第一次碰撞后的速度分別為v1和v2，兩球發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒與能量守恒定律有： 、

聯(lián)立解得，

A球不帶電，所以碰后做平拋運(yùn)動(dòng)； B球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)（類豎直上拋運(yùn)動(dòng)），所以兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)情況相同，始終保持在同一高度。設(shè)A、B在時(shí)間t內(nèi)水平方向的位移分別為xA和xB，小球B的加速度大小為aBx，則

、

B球在水平方向上的加速度為

當(dāng)小球B的水平分速度減小到與A的水平分速度相等即時(shí)，兩者相距最遠(yuǎn)。

對(duì)B球有 解得

則

設(shè)兩球再次碰撞的時(shí)間間隔為Δt，兩小球A、B發(fā)生的位移分別為和，

再次相碰有 其中：

聯(lián)立以上各式可得：

則水平軌道離地面的高度

即

（2）設(shè)小球A、B的質(zhì)量分別為m1和m2，設(shè)兩球首次碰后的速度大小分別為和，則有 、

聯(lián)立以上兩式可得：，即碰后兩球的速度之差與A、B小球質(zhì)量無關(guān)。

設(shè)兩球再次碰撞的時(shí)間間隔為Δt，兩小球A、B發(fā)生的位移分別為和，小球B的加速度大小為，則

再次相碰有 其中：

聯(lián)立以上各式可得：

可見，為了縮短兩球再次碰撞的時(shí)間間隔，僅增大小球A的質(zhì)量這一方案不行，僅增加該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)這一方案可行。

（3）此時(shí)小球B除了受到重力外，還受到豎直向上的洛倫茲力，大小為

小球B此后的運(yùn)動(dòng)可以拆分成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是水平向右、速度大小為的勻速直線運(yùn)動(dòng)（對(duì)應(yīng)的洛倫茲力與重力相平衡）；另一個(gè)是在豎直平面內(nèi)速度大小為、沿逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其軌跡示意圖如圖所示。