Question

12．相距很近的平行板電容器，在兩板中心各開有一個(gè)小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為V₀，質(zhì)量為m，電量為-e，在AB兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉(zhuǎn)電場電壓也等于U₀，板長為L，兩板間距為d，距偏轉(zhuǎn)極板右端$\frac{L}{2}$處垂直放置很大的熒光屏PQ．不計(jì)電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器中的運(yùn)動時(shí)間可以忽略不計(jì)．
（1）在0-T時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置會發(fā)光，試求這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果用L、d表示，第2小題亦然）
（2）只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足什么要求？
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場及熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，使在0-T時(shí)間內(nèi)通過電容器B板的所有電子，能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，求k值．

Answer 1

分析 （1）在0-kT時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場中，電子做類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場后，好像從“中點(diǎn)射出”，得到打在熒光屏上的坐標(biāo)．再運(yùn)用同樣的方法求出在kT-T 時(shí)間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標(biāo)，即可求得這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，由上題結(jié)果求出極板間距應(yīng)滿足什么要求．
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等，分別得到電子束長度的表達(dá)式，根據(jù)相等關(guān)系即可求得k．

解答 解：（1）電子經(jīng)過電容器內(nèi)的電場后，速度要發(fā)生變化．
在0-kT時(shí)間內(nèi)，設(shè)穿出B板后速度變?yōu)?I>v₁，由動能定理得：
-eU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
將U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$
代入后解得：v₁=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}}{m}}$．
在偏轉(zhuǎn)電場中，電子運(yùn)動時(shí)間t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$，側(cè)移量y₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$，
解得：y₁=$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
根據(jù)偏轉(zhuǎn)電場中的推論“似是中點(diǎn)來”其打在熒光屏上的坐標(biāo)y₁′=2y₁=$\frac{{L}^{2}}{4d}$
在kT-T 時(shí)間內(nèi)，穿出B板后速度變?yōu)関₂，同理可得，
v₂=$\sqrt{\frac{8e{U}_{0}}{m}}$=$\sqrt{2}$v₁，y₂=$\frac{{L}^{2}}{16d}$．y₂′=2y₂=$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
熒光屏上兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離△y=y₁′-y₂′=$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，則有：
$\frac{1}{2}$d′=$\frac{1}{2}$a′t²，
又 a′=$\frac{F}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md′}$，t=$\frac{L}{v}$
整理得，d′²=$\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}^{2}}$．
對于速度v₁時(shí)，d₁′=$\sqrt{\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}_{1}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$L；
對于速度v₂時(shí)，d₂′=$\sqrt{\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}_{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$L；
只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足：$\frac{\sqrt{2}}{4}$L＜d′＜$\frac{1}{2}$L；
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等（且剛好重疊），第一束長度：l₁=v₁•kT；第二束長度：l₂=v₂•（T-kT）；
當(dāng)l₁= l₂時(shí)，即v₁•kT=$\sqrt{2}$v₁•（1-k）T，
解得k=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$≈0.59．
答：
（1）在0-T 時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置會發(fā)光，這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離是$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
（2）只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足的要求是：L＜d′＜$\frac{1}{2}$L．
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場及熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，使在0-T 時(shí)間內(nèi)通過電容器B 板的所有電子，能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，k值是0.59．

點(diǎn)評 本題利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動及其相關(guān)知識列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．