Question

3．如圖所示，有3塊水平放置的長(zhǎng)薄金屬板a、b和c，a、b之間相距為L(zhǎng)．緊貼b板下表面豎直放置半徑為R的半圓形塑料細(xì)管，兩管口正好位于小孔M、N處．板a與b、b與c之間接有電壓可調(diào)的直流電源，板b與c間還存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．調(diào)節(jié)板間電壓U_ba和U_bc，當(dāng)U_ba=U₁、U_bc=U₂時(shí)，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電油滴，以速率v₀從a板上的小孔豎直向下射入，油滴穿過(guò)b板M孔進(jìn)入細(xì)管，恰能與細(xì)管無(wú)接觸地從N孔射出．忽略小孔和細(xì)管對(duì)電場(chǎng)的影響，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）油滴進(jìn)入M孔時(shí)的速度v₁；
（2）b、c兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值；
（3）當(dāng)油滴從細(xì)管的N孔射出瞬間，將U_ba和B立即調(diào)整到U₁′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路與細(xì)管無(wú)接觸地返回并穿過(guò)M孔，求U₁′和B′．

Answer 1

分析 （1）油滴開(kāi)始下落的過(guò)程中有重力、電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出油滴進(jìn)入M孔的速度．
（2）油滴進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域，恰與細(xì)管無(wú)接觸地從N孔射出，知電場(chǎng)力等于重力，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿過(guò)M點(diǎn)速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理求出U′_ab的大小，返回到N孔時(shí)速度大小不變，現(xiàn)向左偏轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，方向改變．

解答 解：（1）油滴入電場(chǎng)后，重力與電場(chǎng)力均做功，設(shè)到M點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由動(dòng)能定理$\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2=mgL+q{U_1}$①
得：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$   ②
（2）油滴進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域，恰與細(xì)管無(wú)接觸地從N孔射出，須電場(chǎng)力與重力平衡，有：mg=qE      ③
得：$E=\frac{mg}{q}$        ④
油滴在半圓形細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$     ⑤
得$B=\frac{m{v}_{1}}{qR}=\frac{m}{qR}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$             ⑥
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿過(guò)M點(diǎn)，由動(dòng)能定理，$0-\frac{1}{2}mv_1^2=-mgL-qU'_{ba}^{\;}$⑧
得：$U{′}_{ba}^{\;}={U}_{1}+\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$⑨
考慮到油滴返回時(shí)速度方向已經(jīng)相反，為了使油滴沿原路與細(xì)管無(wú)接觸地返回并穿過(guò)M孔，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，方向相反，即：
B?=-B⑩
答：（1）油滴進(jìn)入M孔時(shí)的速度$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$．
（2）b、c兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度$\frac{mg}{q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度$\frac{m}{qR}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{m}}$．
（3）U₁′和B′分別為：${U}_{1}+\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$，B?=-B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．