Question

20．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常量為G．關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（　　）

• A． 四顆星受到的引力相同
• B． 四顆星的軌道半徑均為$\frac{a}{2}$
• C． 四顆星表面的重力加速度均為$\frac{Gm}{{R}^{2}}$
• D． 四顆星的周期均為2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：A、星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)�角線的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，四顆星受到的引力大小相等，方向不同，故A錯(cuò)誤．
B、四顆星的軌道半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)萬有引力等于重力有：$G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$，則g=$G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$．故C正確．
D、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}+2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}cos45°=m\frac{\sqrt{2}}{2}a（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$，
解得T=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$．故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．