Question

【題目】如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑絕緣水平臺(tái)左端固定一被壓縮的絕緣輕質(zhì)彈簧，一個(gè)質(zhì)量m＝0.04kg，電量q＝＋2×10－4C的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電滑塊與彈簧接觸但不栓接．某一瞬間釋放彈簧彈出滑塊，滑塊從水平臺(tái)右端A點(diǎn)水平飛出，恰好能沒(méi)有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的最高B點(diǎn)，并沿軌道滑下．已知AB的豎直高度h＝0.45m，傾斜軌道與水平方向夾角為α＝37°，傾斜軌道長(zhǎng)為L＝2.0m，帶電滑塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5．傾斜軌道通過(guò)光滑水平軌道CD（足夠長(zhǎng)）與光滑豎直圓軌道相連，在C點(diǎn)沒(méi)有能量損失，所有軌道都絕緣，運(yùn)動(dòng)過(guò)程滑塊的電量保持不變．只有在豎直圓軌道處存在場(chǎng)強(qiáng)大小為E＝2×103V/m，方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．cos37°=0.8，sin37°=0.6，重力加速度g取10 m/s2，求：

(1)被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能？

(2)要使滑塊不離開(kāi)圓軌道，豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？

(3)如果豎直圓弧軌道的半徑R＝0.9m，滑塊進(jìn)入軌道后可以有多少次通過(guò)豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的點(diǎn)P位置？

Answer 1

【答案】(1) (2)或 (3)6次

【解析】

（1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能．先根據(jù)小球從A到B平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出小球到B點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的分解求出到A點(diǎn)的速度，即可根據(jù)機(jī)械能守恒求解被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能．（2）要使小球不離開(kāi)軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，先由牛頓第二定律和向心力知識(shí)求出到最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動(dòng)能定理求解軌道半徑．（3）根據(jù)R=0.9m與上題結(jié)果中軌道半徑R2的關(guān)系，知道小球沖上圓軌道H1=0.825m高度時(shí)速度變?yōu)?/span>0，然后返回傾斜軌道h1高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H2．對(duì)兩個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理求出H2與H1的關(guān)系，歸納得到n次上升高度Hn，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

（1）A到B平拋運(yùn)動(dòng)代入數(shù)據(jù)解得；

B點(diǎn)：，得；

被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能：；

（2）B點(diǎn)：，

B到C：，代入數(shù)據(jù)解得，

①恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)：，；

從C到圓軌道最高點(diǎn)：，得；

②恰好到豎直圓軌道最右端時(shí)，得；

要使小球不離開(kāi)軌道，豎直圓弧軌道的半徑或；
（3），小球沖上圓軌道高度時(shí)速度變?yōu)?/span>0，然后返回傾斜軌道高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為．
有，，
同除得

之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運(yùn)動(dòng)．
同理：n次上升高度為一等比數(shù)列．

，當(dāng)n=4時(shí)，上升的最大高度小于0.01m
則小球共有6次通過(guò)距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)．