Question

【題目】如圖所示，在距地面h=5m的光滑水平桌面上，一輕質(zhì)彈簧被a（質(zhì)量為1kg，可視為質(zhì)點(diǎn)）和b（質(zhì)量為2kg，可視為質(zhì)點(diǎn)）兩個(gè)小物體壓縮（不拴接），彈簧和小物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)。今同時(shí)釋放兩個(gè)小物體，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)后，物體a繼續(xù)運(yùn)動(dòng)最后落在水平地面上，落點(diǎn)距桌子邊緣距離x=2m，物體b則從A端滑上與桌面等高的傳送帶，傳送帶起初以v0=2m/s的速度順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)，在b滑上的同時(shí)傳送帶開(kāi)始以a0=1m/s2的加速度加速運(yùn)轉(zhuǎn)，物體和傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，傳送帶右側(cè)B端處固定一豎直放置的光滑半圓軌道BCD，其半徑R=0.8m，小物體b恰能滑上與圓心O等高的C點(diǎn)。取g=10m/s2，求：

（1）處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Ep；

（2）物塊b由A端運(yùn)動(dòng)到B端所經(jīng)歷的時(shí)間；

（3）若要保證小物體b在半圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，則半圓軌道的半徑應(yīng)滿足什么要求？

Answer 1

【答案】（1） （2）t＝2 s （3）

【解析】

（1）物體a飛出桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)：

彈簧彈開(kāi)ab的過(guò)程，對(duì)ab系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律：

由能量守恒定律：

得：va=2m/s vb=1m/s

(2)物體b恰能滑上C點(diǎn)，則b從B-C由動(dòng)能定理：-mgR=0-

b剛放上傳送帶時(shí)，vb<v0，由牛頓第二定律有：μmg＝ma

假設(shè)b歷時(shí)t1后能與傳送帶達(dá)到共速v1，對(duì)于b,有：v1＝vb＋at1，

對(duì)傳送帶有v1＝v0＋a0t1

解得：t1＝1 s

得：v1＝v0＋a0t1＝3m/s<4 m/s

故物體b此時(shí)速度還沒(méi)有達(dá)到vB，且此后的過(guò)程中由于a0<μg，物塊將和傳送帶以共同的加速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)又歷時(shí)t2到達(dá)B點(diǎn)

vB＝v1＋a0t2

得：t2＝1 s

所以從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t＝t1＋t2＝2 s

(3)討論：物體b恰能到達(dá)C點(diǎn)，則不會(huì)脫離軌道，由題意得

物體b恰能過(guò)軌道最高點(diǎn)D點(diǎn)，則能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，

在D點(diǎn)滿足：

B-D，由動(dòng)能定理：

解得：

綜上圓弧軌道半徑需滿足：或