Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁（a，0），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)速度方向沿x軸正方向時(shí)，粒子恰好從O₁點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入第一象限，當(dāng)速度方向沿x軸正方向的夾角θ=30°時(shí)，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間t．

Answer 1

（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有
 qvB=

mv2

R

粒子自A點(diǎn)射出，由幾何知識(shí)  
R=a
解得  
B=

mv

qa

即磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

mv

qa

．
（2）粒子從A點(diǎn)向上在電場(chǎng)中做勻減運(yùn)動(dòng)，
設(shè)在電場(chǎng)中減速的距離為y₁
由動(dòng)能定理，得到
-Eqy1=0-

1

2

mv2
解得
y1=

mv2

2Eq

所以在電場(chǎng)中最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a+

mv2

2Eq

）．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖



粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的周期  T=

2πa

v

粒子從磁場(chǎng)中的P點(diǎn)射出，因磁場(chǎng)圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，OO₁PO₂構(gòu)成菱形，故粒子從P點(diǎn)的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對(duì)應(yīng)的圓心角為：θ₁=60°
由幾何知識(shí)可知，粒子由P點(diǎn)到x軸的距離
S=acosθ
粒子在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  
t1=

2mv

qE

粒子由P點(diǎn)第2次進(jìn)入磁場(chǎng)，
由Q點(diǎn)射出，PO₁QO₃ 構(gòu)成菱形，
由幾何知識(shí)可知Q點(diǎn)在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為：θ₂=120°
則  θ₁+θ₂=π
粒子先后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 
 t2=

T

2

粒子在場(chǎng)區(qū)之間做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
  t3=

2(a-S)

v

解得粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間
t=t1+t2+t3=

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

故粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間t為

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

．