Question

【題目】均質(zhì)桿長為，豎直地放在桌面邊緣上，點與桌面的邊緣接觸．給一微小擾動，桿將繞點向外轉(zhuǎn)動．當桿受到桌子的反力為零時，桿將離開桌子，試求：

（1）當桿離開桌子時，桿轉(zhuǎn)過的角度，并求此時桿的角速度？

（2）如果桿垂直地打擊地面，則桌子的高度應(yīng)為多少？

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

桿的受力分析如圖所示．

（1）取桿為研究對象，在桿未離開桌子時，可以將桿的運動看作繞的轉(zhuǎn)動，根據(jù)動能定理，有

． ①

由于繞點轉(zhuǎn)動，有，將其代入式①中，可解得．

質(zhì)心的法向加速度為．

根據(jù)質(zhì)心運動定理，有

，， ②

解之得．

當桿離開桌面時有，即，即．

故桿離開桌子時，桿轉(zhuǎn)過的角度為．

此時，桿轉(zhuǎn)動的角速度為

（2）當桿脫離桌子時，僅受重力作用，桿作平面運動，如圖所示．

根據(jù)桿對質(zhì)心的動量矩定理，即，可得，因此桿轉(zhuǎn)動的角速度不變．桿質(zhì)心運動的速度為，于是有

，．

要使桿垂直地打擊地面，其轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)滿足，，2，3，…．

因此，桿在離開桌子到打擊地面所運動的時間為

桿質(zhì)心在鉛直方向的位移為

于是，桌子的高度應(yīng)滿足