Question

如圖所示，空氣中有一折射率為

2

的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90°、半徑為R的扇形OAB．一束平行光平行于橫截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考慮首次入射到圓弧

.

AB

上的光，則

.

AB

上有光透出部分的弧長為

π

R

4

．

Answer 1

分析：注意兩條特殊光線，一是從O點(diǎn)沿半徑方向進(jìn)入玻璃柱體的光線，在AO面上折射后傳播入方向不變，二是在AB面上發(fā)生全反射的光線，有光透出的部分在這兩條光線之間，然后根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：根據(jù)折射定律有：

sin45°

sinr

=

2

，可得光進(jìn)入玻璃后光線與豎直方向的夾角為30°．
過O的光線垂直入射到AB界面上點(diǎn)C射出，C到B之間沒有光線射出；越接近A的光線入射到AB界面上時的入射角越大，發(fā)生全反射的可能性越大．
根據(jù)臨界角公式：sinC=

1

2

，得臨界角為45°，如果AB界面上的臨界點(diǎn)為D，此光線在AO界面上點(diǎn)E入射，在三角形ODE中可求得OD與水平方向的夾角為180°-（120°+45°）=15°，所以A到D之間沒有光線射出．由此可得沒有光線射出的圓弧對應(yīng)圓心角為90°-（30°+15°）=45°
所以有光透出的部分的弧長為

1

4

πR．
故答案為：

1

4

πR．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵根據(jù)光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光線透出的范圍，然后依據(jù)幾何關(guān)系求解．