Question

6．如圖所示，一光滑圓錐體固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一條不計質(zhì)量，長為l（l＜OA）的細(xì)繩，一端固定在頂點O，另一端栓一質(zhì)量為m的物體（看做質(zhì)點）．求：
（1）當(dāng)小球繞圓錐體表面做勻速圓周運動且對錐體表面無壓力時小球運動的線速度大��；
（2）當(dāng)物體以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$繞圓錐體的軸OC在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，物體和圓錐面之間的相互作用力多大．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：（1）當(dāng)物體剛好對錐體表面無壓力時，對小球受力分析，合力提供向心力，則有：
Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$，
（2）v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v，則有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，${N}_{1}=\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$
答：（1）當(dāng)小球繞圓錐體表面做勻速圓周運動且對錐體表面無壓力時小球運動的線速度大小為；
（2）當(dāng)物體以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$繞圓錐體的軸OC在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，物體和圓錐面之間的相互作用力為$\frac{6-\sqrt{3}}{6}mg$．

點評 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，知道物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，能夠熟練運用牛頓第二定律求解，難道適中．