Question

如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內(nèi)分別存在勻強磁場，磁感應強度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時刻從y軸上的P點射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；因此，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計重力和兩粒子之間的相互作用力。求

（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時速度的大小；

（2）當a離開區(qū)域II時，a、b兩粒子的y坐標之差。

Answer 1

解析：（1）設粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運動的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點為,如圖，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

 �、佟　∮蓭缀侮P系得　 ②　　    ③

式中，，由①②③式得   ④

(2)設粒子a在II內(nèi)做圓周運動的圓心為Oa,半徑為，射出點為（圖中未畫出軌跡），。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得   ⑤

由①⑤式得   ⑥　

、和三點共線，且由 ⑥式知點必位于   ⑦ 的平面上。由對稱性知，點與點縱坐標相同，即  ⑧  式中，h是C點的y坐標。

    設b在I中運動的軌道半徑為，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得   ⑨

　 設a到達點時，b位于點，轉(zhuǎn)過的角度為。如果b沒有飛出I，則

    ⑩     　 　

式中，t是a在區(qū)域II中運動的時間，而

               

由⑤⑨⑩式得  

由①③⑨式可見，b沒有飛出。點的y坐標為    　　　　

由①③⑧⑨式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標之差為