Question

8．長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下端拴一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，處于如圖所示的水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，開(kāi)始時(shí)，將線與小球拉成水平，然后由A點(diǎn)釋放，小球由靜止開(kāi)始向下擺動(dòng)，當(dāng)細(xì)線轉(zhuǎn)過(guò)60°角時(shí)，小球到達(dá)B點(diǎn)速度恰好為零．已知重力加速度為g，試求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力大小；
（3）小球從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能E_AB及此位置細(xì)線與水平方向夾角θ．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B的過(guò)程中，重力做正功mgLsin60°，電場(chǎng)力做功為qU_AB，動(dòng)能的變化量為零，根據(jù)動(dòng)能定理求解電勢(shì)差U_AB；根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系U=Ed求解場(chǎng)強(qiáng)．式中d是AB沿電場(chǎng)線方向的距離，d=L-Lcos60°．
（2）小球在AB間擺動(dòng)時(shí)具有對(duì)稱性，B處繩拉力與A處繩拉力相等，研究A處繩子的拉力得到B處繩子的拉力．在A處小球水平方向平衡，由平衡條件求解拉力
（3）速度最大，此時(shí)，切向方向合力為零，根據(jù)受力分析求的夾角，根據(jù)動(dòng)能定理求得最大動(dòng)能

解答 解：（1）小球由A→B過(guò)程中，由動(dòng)能定理：
mgLsin60°-qU_AB=0
所以U_AB=$\frac{\sqrt{3}mgL}{2q}$
E=$\frac{{U}_{AB}}{L-Lcos60°}=\frac{\sqrt{3}mg}{q}$
（2）小球在AB間擺動(dòng)，由對(duì)稱性知，B處細(xì)線拉力與A處細(xì)線拉力相等，而在A處，由水平方向平衡有
T_A=Eq=$\sqrt{3}$mg
所以T_B=T_A=$\sqrt{3}$mg
或在B處，沿細(xì)線方向合力為零，有
T_B=Eqcos60°+mgcos30°=$\sqrt{3}$mg．
（3）假設(shè)靜止釋放，與水平方向的夾角為θ，速度最大，此時(shí)，切向方向合力為零
滿足qEsinθ=mgcosθ
解得$tanθ=\frac{mg}{qE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
即θ=30°
根據(jù)動(dòng)能定理可得mgLsin30°-qEL（1-os30°）=E_k-0
解得${E}_{k}=（2-\sqrt{3}）mgL$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$；
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力大小為$\sqrt{3}$mg
（3）小球從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能E_AB為$（2-\sqrt{3}）mgL$，此位置細(xì)線與水平方向夾角θ為30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理，共點(diǎn)力平衡條件，電場(chǎng)力做功的直接應(yīng)用，第（2）問(wèn)題也可以直接研究B處得到，小球在B處，沿繩方向合力為零
有：F_TB=Eqcos60°+mgcos30°=$\sqrt{3}mg$