Question

20．在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)存在一有界勻強磁場，該磁場的磁感應強度大小為B=0.1T，方向垂直于xOy平面向里，在坐標原點O處有一正離子放射源，放射出的正離子的比荷都為$\frac{q}{m}$=1×10⁶C/kg，且速度方向與磁場方向垂直．若各離子間的相互作用和離子的重力都可以忽略不計．
（1）如圖甲所示，若第一象限存在直角三角形AOC的有界磁場，∠OAC=30°，AO邊的長度l=0.3m，正離子從O點沿x軸正方向以某一速度射入，要使離子恰好能從AC邊射出，求離子的速度大小及離子在磁場中運動的時間．
（2）如圖乙所示，若第一象限存在一未知位置的有界勻強磁場，正離子放射源放射出不同速度的離子，所有正離子入射磁場的方向均沿x軸正方向，且最大速度v_m=4.0×10⁴m/s，為保證所有離子離開磁場的時候，速度方向都沿y軸正方向，試求磁場的最小面積，并在圖乙中畫出它的形狀．

Answer 1

分析 （1）離子恰好能從AC邊射出的臨界情況為與AC相切時，作出軌跡由幾何知識確定圓心，由牛頓第二定律列方程求速度大小，確定出圓心角由周期公式求運動時間．
（2）分析可知所有離子的軌跡圓的圓心都在y軸正半軸上，所以滿足題意的最小磁場區(qū)域為一扇形．

解答 解：（1）正離子在磁場內(nèi)做勻速圓周運動，離子剛好從AC邊上的D點射出時，如圖甲所示，
離子軌跡圓的圓心為O′，軌道半徑為r，由幾何知識得：r+2r=l，解得：r=$\frac{l}{3}$=0.1m，
粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=1.0×10⁴m/s；
若正離子恰好從AC邊射出，由幾何知識可知，圓心角∠DO′O=120°，粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
正離子在磁場中運動的時間：t=$\frac{θ}{360°}$T=2.1×10^-5s；
（2）所有離子進入磁場后均做逆時針方向的勻速圓周運動，且入射方向沿x軸正方向，
離開時沿y軸正方向，速度偏轉(zhuǎn)角為$\frac{π}{2}$，并且所有離子的軌跡圓的圓心都在y軸正半軸上，
所以滿足題意的最小磁場區(qū)域為圖乙所示，
根據(jù)牛頓第二定律有：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{R}_{m}}$，解得：R_m=0.4m，
所以磁場區(qū)域最小面積為：S=$\frac{1}{4}$πR_m²-$\frac{1}{2}$R_m²=0.04（π-2）=0.0456m²
答：（1）離子的速度大小為1.0×10⁴m/s，離子在磁場中運動的時間為2.1×10^-5s．
（2）磁場的最小面積為0.0456m²．

點評 求極值的問題可以說是磁場部分難度較大的題目，此類問題關(guān)鍵在于找好臨界情況，臨界點通常在端點或者相切位置