Question

【題目】如圖為一水平傳送帶裝置的示意圖．緊繃的傳送帶AB 始終保持 v0=5m/s的恒定速率運行，AB間的距離L為8m．將一質量m=1kg的小物塊輕輕放在傳送帶上距A點2m處的P點，小物塊隨傳送帶運動到B點后恰好能沖上光滑圓弧軌道的最高點N．小物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g=10m/s2 ． 求：
（1）該圓軌道的半徑r
（2）要使小物塊能第一次滑上圓形軌道到達M點，M點為圓軌道右半側上的點，該點高出B點0.25m，且小物塊在圓形軌道上不脫離軌道，求小物塊放上傳送帶時距離A點的位置范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：小物塊在傳送帶上勻加速運動的加速度a=μg=0.5×10m/s2=5m/s2，

小物塊與傳送帶共速時，所用的時間 t= = s=1s

運動的位移△x= = m=2.5m＜L﹣2m=6m

故小物塊與傳送帶達到相同速度后以v0=5m/s的速度勻速運動到B，然后沖上光滑圓弧軌道．

據題，物塊恰好達N點，故由重力提供向心力，則有：mg=m

由機械能守恒定律得： =mg（2r）+

解得：r=0.5m

（2）解：設在距A點x1處將小物塊輕放在傳送帶上，恰能到達圓心右側的M點，由能量守恒得：

μmg（L﹣x1）=mgh

代入數據解得：x1=7.5m

設在距A點x2處將小物塊輕放在傳送帶上，恰能到達右側圓心高度，由能量守恒得：

μmg（L﹣x2）=mgR

代入數據解得：x2=7m

則：能到達圓心右側的M點，物塊放在傳送帶上距A點的距離范圍7m≤x≤7.5m；

同理，只要過最高點N同樣也能過圓心右側的M點，由（1）可知，x3=5.5m

則：0≤x≤5.5m．

故小物塊放在傳送帶上放在傳送帶上距A點的距離范圍為：

7m≤x≤7.5m和0≤x≤5.5m

【解析】（1）先研究小物塊在傳送帶上的運動過程：由牛頓第二定律和速度時間公式結合，求出小物塊與傳送帶共速時所用的時間，由速度位移公式求出物塊相對于地的位移，判斷出物塊的運動情況，確定出物塊到達B端的速度．物塊恰好到達N點，由重力提供向心力，可求得N點的速度，再由機械能守恒列式，即可求出半徑r．（2）設在距A點x1處將小物塊輕放在傳送帶上，恰能到達圓心右側的M點，由能量守恒求出x1 ， 設在距A點x2處將小物塊輕放在傳送帶上，恰能到達右側圓心高度，由能量守恒求出x2 ， 即可得到x的范圍，同理，只要過最高點N同樣也能過圓心右側的M點，再求得x的范圍．
【考點精析】關于本題考查的向心力，需要了解向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力才能得出正確答案．