Question

9．如圖所示，質(zhì)量為m的小球P自4R高度下落后沿豎直平而內(nèi)的光滑軌道ABC  運(yùn)動．AB是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，BC是直徑為R的半圓弧軌道，B是軌道最低點(diǎn)，在圓弧AB和BC的銜接處另有一個(gè)質(zhì)量也為m的靜止小球Q．小球P運(yùn)動到B點(diǎn)和小球Q碰撞后粘在一起變成一個(gè)整體，整體沿軌道向上運(yùn)動到C點(diǎn)后水平拋出．求：
（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度；
（2）小球P、Q整體在C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力
（3）小球P、Q整體離開c點(diǎn)后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求得小球P碰撞前的速度，再根據(jù)動量守恒求得碰撞后的共同速度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得整體到達(dá)C時(shí)的速度，再根據(jù)牛頓運(yùn)動定律合力提供圓周運(yùn)動向心力求得軌道對整體的作用力，從而求得對軌道的壓力；
（3）根據(jù)平拋方程和圓軌道方向求得整體豎直下落的高度．

解答 解：（1）小球P下落時(shí)根據(jù)機(jī)械能守恒定律  $mg（4R+R）=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得小球P撞擊小球Q時(shí)的速度為：
$v_0^{\;}=\sqrt{10gR}$
與Q碰撞過程中由動量守恒定律可得：
mv₀=2mv
解得碰后兩球的共同速度$v=\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$
（2）碰后兩球的復(fù)合體在由B到C的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
$\frac{1}{2}2m{v^2}=\frac{1}{2}2mv_c^2+2mgR$
解得小球在C點(diǎn)的速度：${v_C}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$
設(shè)兩球的復(fù)合體在C時(shí)和軌道間的彈力大小為N，有牛頓第二定律及向心力公式得：
$N+2mg=2m\frac{v_C^2}{{\frac{R}{2}}}$，
解得：N=0
即小整體對軌道的壓力為零．
（3）兩球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動：
x=v_Ct，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
AB軌道位于以C點(diǎn)為圓心的圓周上：
x²+y²=R²
解得：$y=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}R=0.618R$
答：（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度分別為$\sqrt{10gR}$和$\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$；
（2）小球P、Q整體在C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為0；
（3）小球P、Q整體離開c點(diǎn)后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度為0.618R．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是能從機(jī)械能守恒或動能定理角度分析小球運(yùn)動的速度關(guān)系，在碰撞過程中滿足動量守恒，結(jié)合圓周運(yùn)動條件求對軌道的壓力，以及由圓周軌道的方程分析小球平拋的下落高度．本題綜全性較強(qiáng)，考查知識點(diǎn)較多，屬難題．