Question

7．如圖所示，質(zhì)量為m的小球與一根不可伸長的長為L的輕繩相連接，繩的另一端固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方O′處（圖中沒有畫出來）釘一個(gè)釘子，現(xiàn)將小球拉到跟水平方向成θ=30°角的斜上方（繩恰好伸直但無彈力）．然后將小球由靜止自由釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩與釘子相碰，此時(shí)不考慮輕繩的形變．問OO′的距離d滿足什么條件小球可以繞O′處的釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．（輕繩足夠結(jié)實(shí)，不會(huì)斷．小球的大小可以忽略，并且質(zhì)量足夠大，忽略空氣的作用力．

Answer 1

分析 先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出繩子繃緊前瞬間小球的速度，結(jié)合題意得到繩子繃緊后瞬間小球的速度，小球恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒結(jié)合求解．

解答 解：小球在繩子繃緊前做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，繩子繃緊前瞬間小球的速度大小為 v₁=$\sqrt{2gL}$
當(dāng)繩子繃緊瞬間，沿繩方向的速度減為零，垂直于繩的方向的速度保持不變，所以繩子繃緊后瞬間小球的速度大小為 v₂=v₁cos30°=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
小球從繩子繃緊后到最低點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒得：mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度  v₃=$\sqrt{\frac{5}{2}gL}$
要保證小球恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周的最高點(diǎn)，有 mg≤m$\frac{{v}_{4}^{2}}{L-d}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$=mg•2（L-d）+$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
聯(lián)立解得：d≥$\frac{1}{2}$L
答：OO′的距離d滿足條件d≥$\frac{1}{2}$L時(shí)小球可以繞O′處的釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評 小球在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意，小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力．