Question

2．如圖所示，固定于水平面的兩足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌PMN、P′M′N(xiāo)′，由傾斜和水平兩部分在M、M′處平滑連接組成，導(dǎo)軌間距L=1m，水平部分處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．金屬棒a、b垂直于傾斜導(dǎo)軌放置，質(zhì)量均為m=0.2kg，a的電阻R₁=1Ω，b的電阻R₂=3Ω，a、b長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=1m，棒a距水平面的高度h₁=0.45m，棒b距水平面的高度為h₂（h₂＞h₁）；保持b棒靜止，由靜止釋放a棒，a棒到達(dá)磁場(chǎng)中OO′停止運(yùn)動(dòng)，后再由靜止釋放b棒，a、b與導(dǎo)軌接觸良好且導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度g=10m/s²．
（1）求a棒進(jìn)入磁場(chǎng)MM′時(shí)加速度的大�。�
（2）a棒從釋放到OO′的過(guò)程中，求b棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若MM′、OO′間的距離x=2.4m，b棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，恰好未與a棒相碰，求h₂的值．

Answer 1

分析 （1）金屬棒a下滑的過(guò)程中，由動(dòng)能定理求a棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)MM′時(shí)的速度．再由E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL求出安培力，再使用牛頓第二定律求出加速度；
（2）運(yùn)用能量守恒定律求出b棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）b棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，恰好未與a棒相碰，兩者速度相同，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求共同速度，再對(duì)兩棒分別運(yùn)用動(dòng)量定理列式，聯(lián)立求出h₂的值．

解答 解：（1）設(shè)a棒從釋放到MM′時(shí)的速度為v₁．由動(dòng)能定理得
  mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
進(jìn)入磁場(chǎng)后a棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv₁．
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{{R}_{a}+{R}_}$
對(duì)a棒，由牛頓第二定律得
   BIL=ma
代入數(shù)據(jù)解得 a=3.75m/s²．
（2）設(shè)a、b產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，由能量守恒得
  Q=mgh₁
則b棒產(chǎn)生的焦耳熱 Q_b=$\frac{{R}_}{{R}_{a}+{R}_}$Q=$\frac{3}{4}$Q
聯(lián)立解得 Q_b=0.675J
（3）設(shè)b棒到MM′時(shí)的速度為v₂．由動(dòng)能定理得
  mgh₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
b棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)a、b一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
    mv₂=2mv
設(shè)a棒經(jīng)時(shí)間△t達(dá)到v，對(duì)a，由動(dòng)量定理得
  B$\overline{i}$L•△t=mv-0
又 q=$\overline{i}$△t
$\overline{i}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{a}+{R}_}$
由法拉第電磁感應(yīng)定律得 $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
a、b恰好不相碰，有△Φ=BLx
聯(lián)立解得 h₂=1.8m
答：
（1）a棒進(jìn)入磁場(chǎng)MM′時(shí)加速度的大小是3.75m/s²；
（2）a棒從釋放到OO′的過(guò)程中，b棒產(chǎn)生的焦耳熱是0.675J；
（3）若MM′、OO′間的距離x=2.4m，b棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，恰好未與a棒相碰，h₂的值是1.8m．

點(diǎn)評(píng) 該題是電磁感應(yīng)與力學(xué)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．做這類(lèi)問(wèn)題我們還是應(yīng)該從運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析和受力分析入手研究，運(yùn)用力學(xué)物理規(guī)律求解問(wèn)題．要注意a、b兩棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒定律．