Question

16．如圖所示，質量為4m的足夠長木板C靜止在光滑水平面上，質量均為m的兩個小物體A、B放在C的左端，A、B間距離為d，現(xiàn)同時對A、B施加水平向右的瞬時沖量而使之分別獲得初速度v₀和3v₀，A、B始終未滑離C，若A、B與C之間的動摩擦因數(shù)分別為μ和3μ，求：
（1）運動過程中A的最小速度；
（2）最終A、B相距多遠．
（3）整個過程中A與C及B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比．

Answer 1

分析 （1）對A、B施加水平向右的瞬時沖量，使之分別獲得初速度v₀和3v₀后，A、B都向右做減速運動，B向右做加速運動，當A與C的速度相同后，AC一起向右做加速運動，那么AC相對靜止時A的速度最�。�根據(jù)動量守恒定律和動量定理分別對A、長木板研究，求出運動過程中A的最小速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出AC相對靜止前后三個物體的加速度大小，由速度位移公式求出從開始運動到三個物體均相對靜止時相對于地面的位移，再求出A與B最終相距的距離．
（3）結合運動學公式求出整個過程中C的位移大小，從而得出A、B相對C滑動的位移大小，結合摩擦產(chǎn)生的熱量與相對位移的關系求出產(chǎn)生的熱量之比．

解答 解：（1）當A、C速度相等時，A的速度最小，
設經(jīng)過t時間，A與C相對靜止，共同速度為v_AC，此時B的速度為v_B，規(guī)定向右為正方向，由動量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+4m）v_AC+mv_B
根據(jù)動量定理，
對A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
對C：（μmg+3μmg）t=4mv_AC
聯(lián)立以上三式解得：v_AC=0.5v₀，v_B=1.5v₀．
（2）AC相對靜止前，AB做勻減速運動，C做勻加速運動，三個物體的加速度分別為：
${a}_{A}=\frac{μmg}{m}=μg$，${a}_{B}=\frac{3μmg}{m}=3μg$，${a}_{C}=\frac{μmg+3μmg}{4m}=μg$，
AC相對靜止后，AC做勻加速運動，B做勻減速運動，三個物體的加速度分別為：
${a}_{A}′={a}_{C}′=\frac{3μmg}{5m}=\frac{3μg}{5}$，
a_B′=a_B=3μg，
最終三個物體一起做勻速直線運動．
從開始運動到三個物體都相對靜止，A、B相對于地的位移分別為：
${s}_{A}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}′}$=$\frac{29{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
${s}_{B}=\frac{（3{v}_{0}）^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{77{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
規(guī)定向右為正方向，對三者組成的系統(tǒng)運用動量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+m+4m）v
解得：v=$\frac{2}{3}$v₀．
所以A與B最終相距為：△s=d+s_B-s_A=d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）C在整個過程中的位移為：${s}_{C}=\frac{{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}′}$=$\frac{31{{v}_{0}}^{2}}{108μg}$，
可知A相對C滑動的位移為：$△{x}_{A}={s}_{A}-{s}_{C}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
B相對C滑動的位移為：△x_B=s_B-s_C=$\frac{41{{v}_{0}}^{2}}{36μg}$．
Q_A=μmg△x_A，Q_B=3μmg△x_B，
解得：$\frac{{Q}_{A}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{41}$．
答：（1）運動過程中A的最小速度為0.5v₀；
（2）最終A、B相距d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）整個過程中A與C及B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比為3：41．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、動量定理、牛頓運動定律和運動學公式，運動過程比較復雜，研究對象比較多，按程序法進行分析，理清物體在整個過程中的運動規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進行求解．