Question

6．如圖，一個質(zhì)量為m=0.6kg的小球，在左側(cè)平臺上運行一段距離后從邊緣A點以v₀=$\frac{20}{3}$m/s水平飛出，恰能沿圓弧切線從P點進入固定在地面上的豎直的圓弧管道，并繼續(xù)滑行．已知圓弧管道口內(nèi)徑遠小于圓弧半徑R，OP與豎直方向的夾角是θ=37°，平臺到地面的高度差為h=1.45m．若小球運動到圓弧軌道最低點時的速度大小是v₁=10m/s．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小球從A點運動到P點所需的時間t；
（2）P點距地面的高度△h和圓弧半徑R；
（3）小球?qū)�圓弧軌道最低點的壓力F_N大小；
（4）若通過最高點Q點時小球?qū)�管上壁的壓力大�?N，求小球經(jīng)過Q點時的速度v₂大�。�

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧PQ的P點的切線方向進入圓弧，說明到到P點的速度v_P方向與水平方向的夾角為θ，根據(jù)平拋運動的基本公式即可求解時間；
（2）由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出小球下落的高度，在由幾何關(guān)系即可求出P點距地面的高度△h和圓弧半徑R；
（3）對小球在最低點的受力分析，根據(jù)向心力公式結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；
（4）對小球在最高點進行受力分析，根據(jù)向心力公式即可求解．

解答 解：（1）對P點的速度矢量分解，有：$tan37°=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}$ 
代入數(shù)據(jù)得：t=0.5s
（2）豎直方向小球做自由落體運動，由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}$=1.25m
由幾何關(guān)系，P點高度：h₂=h-h₁=0.2m
有幾何關(guān)系：$\frac{R-△h}{R}=cos37°$
代入數(shù)據(jù)得：R=1m
（3）在最低點，支持力與重力的和提供小球的向心力，得：${F}_{N1}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N1=66N
由牛頓第三定律得小球?qū)�圓弧軌道最低點的壓力：F_N1′=F_N1=66N
（4）由${F}_{N2}+mg=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
帶入數(shù)據(jù)得：v₂=5m/s
答：（1）小球從A點運動到P點所需的時間是0.5s；
（2）P點距地面的高度△h是0.2m，圓弧半徑是1m；
（3）小球?qū)�圓弧軌道最低點的壓力F_N大小是66N；
（4）若通過最高點Q點時小球?qū)�管上壁的壓力大�?N，小球經(jīng)過Q點時的速度v₂大小是5m/s．

點評 恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結(jié)合在一起運用機械能守恒解決，能夠很好的考查學生的能力，是道好題．本題是平拋運動和圓周運動相結(jié)合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．