Question

8．如圖所示，質(zhì)量是1kg的小球用長為0.5m的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面高度為h=2.2m，如果使小球繞OO′軸載水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，其角速度緩慢增大，若細(xì)線最大承受拉力為T_m=12.5N．求：
（1）當(dāng)小球的角速度為多大時，線將斷裂；
（2）斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離．（g=10m/s²，兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大向心力，根據(jù)向心力公式求出最大角速度；
（2）繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式即可求解．

解答 解：（1）小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動時，由重力G和拉力F的合力提供向心力，當(dāng)繩子拉力為12.5N時，向心力最大，則有：${F}_{合}=\sqrt{{{T}_{m}}^{2}-（mg）^{2}}$=$\sqrt{12．{5}^{2}-1{0}^{2}}$N=7.5N．
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，$sinθ=\frac{{F}_{合}}{{T}_{m}}=\frac{7.5}{12.5}=\frac{3}{5}$，
根據(jù)幾何關(guān)系知，小球做圓周運(yùn)動的半徑r=Lsinθ=$0.5×\frac{3}{5}m=0.3m$，
根據(jù)${F}_{合}=mr{ω}^{2}$得，$ω=\sqrt{\frac{{F}_{合}}{mr}}=\sqrt{\frac{7.5}{1×0.3}}rad/s=5rad/s$．
（2）繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，初速度v=ωr=0.3×5m/s=1.5m/s，
豎直方向下落的高度H=h-Lcosθ=2.2-0.5×$\frac{4}{5}$m=1.8m，
根據(jù)H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}s=0.6s$，
則平拋運(yùn)動的水平位移x=vt=1.5×0.6m=0.9m，
根據(jù)平行四邊形定則知，斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{0．{9}^{2}+0．{3}^{2}}$m=0.95m．
答：（1）當(dāng)小球的角速度為5rad/s時，線將斷裂；
（2）斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為0.95m．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動規(guī)律以及圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．