Question

7．如圖為某游樂場(chǎng)的“彈球擊物”游戲裝置的示意圖．質(zhì)量為m的小球經(jīng)左側(cè)的彈射系統(tǒng)作用后進(jìn)入內(nèi)徑比小球直徑稍大的組合管道AOBC，A端固定在地面上，BC段水平且用一可以上下移動(dòng)的硬桿固定，調(diào)節(jié)BC段的高度h，可以使小球擊中裝置前方某處的物體．管道O、B關(guān)節(jié)處用特殊結(jié)構(gòu)連接，使硬桿在上下移動(dòng)過程中管道連接處能自如地改變角度，并且小球在經(jīng)過連接處時(shí)機(jī)械能損失忽略不計(jì)．已知A端與C之間的水平距離d=4m，控制左側(cè)的彈射系統(tǒng)使小球每次從A端進(jìn)入管道時(shí)的速度都是v₀=10m/s，BC段能夠調(diào)節(jié)的高度范圍為2m≤h≤3.5m，g取10m/s²．

（1）若管道處處光滑，BC段下調(diào)到最低高度，求小球離開管口C后水平射程．
（2）若小球與管道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，求小球離開管口C后的水平射程范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體A到C過程根據(jù)動(dòng)能定理求C點(diǎn)的速度，然后C飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列方程求解；
（2）重新根據(jù)動(dòng)能定理列方程表示出C點(diǎn)的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出水平射程，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求極值．

解答 解：（1）由A到C過程：-mgh=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀² 
拋出后：h=$\frac{1}{2}$gt² 
水平射程：x=v_ct=2$\sqrt{6}$m
（2）設(shè)當(dāng)BC的高度調(diào)為h₁ 時(shí)，水平射程為x₁，則：
-mgh₁-μmgd=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²    …①
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²  …②x₁=v₁t₁   …③
由①、②、③式得：x₁=$\sqrt{-4{{h}_{1}}^{2}+（\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}-4μd）{h}_{1}}$
令y=-4h₁²+（$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}$-4μd）h₁…④
則當(dāng)h₁=1.5m，y有極大值，即x₁有極大值；
但h的最小值為2m，所以h=2m時(shí)，射程最大，最大射程x_m=2$\sqrt{2}$m
設(shè)小球到達(dá)C時(shí)速度為0時(shí)，BC的高度為h₂
-mgh₂-μmgd=0-$\frac{1}{2}$mv₀² 
h₂=3m
即：h₂=3m時(shí)，v_c=0   水平射程為0            
所以，小球離開管口C后的水平射程范圍為：
0≤x≤2$\sqrt{2}$m
答：（1）若管道處處光滑，BC段下調(diào)到最低高度，小球離開管口C后水平射程為2$\sqrt{6}$m．
（2）若小球與管道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，小球離開管口C后的水平射程范圍為0≤x≤2$\sqrt{2}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題的是多過程問題，關(guān)鍵是分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，多次根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并要樹立數(shù)學(xué)方法解決物理問題的思想．